Göm meny

Februari-Mars 2005

1. Låt p och q vara primtal större än 6. Visa att p4- q4 är delbart med 240.

2. Låt ABCDEFGHI vara en regelbunden niohörning. Diagonalerna AD, BF and CG begränsar en triangel KLM. (Rita!) Hitta alla de 18 trianglar som är likformiga med triangeln KLM och vars alla hörn finns bland niohörningens hörn.

Lösning           Vinnare:   Andreas Jönsson, Polhemsgymnasiet i Göteborg

Bra lösningar har även skickats in av Fredrik Elinder, Linköping, och Daniel Hedlund, Enköping.

April 2005

1. Antag att varje punkt i planet är antingen röd eller blå. Visa att det finns en liksidig triangel vars alla hörn har samma färg.

2. Lös ekvationen (2+x)1/3 + (2-x)1/3 = 2. (Utan dator.)

Lösning           Vinnare:   Mattias Selin, Fredrika Bremergymnasiet, Haninge.

Bra lösning har även skickats in av Daniel Hedlund, Westerlundska gymnasiet i Enköping.

Maj 2005

1. Adam, Bertil, Calle och David vill dela på en summa pengar bestående av tio sedlar. En av sedlarna är en tjugolapp och de övriga har valörer 10, 50 och 100 kronor. Adam vill ha en tredjedel av pengarna, Bertil en fjärdedel, Calle en femtedel och David en sjättedel. Etersom de inte har någon växel, går det dåligt att dela på pengarna.

De får hjälp av Eva - hon tar pojkarnas sedlar och lägger till sin egen tia. Och vips, så går det att dela jämnt: Adam får en tredjedel, Bertil en fjärdedel, Calle en femtedel och David en sjättedel.

"Tack och hejdå", säger Eva och går därifrån.

"Vad tackade hon för?", undrar Adam.

"Hur många sedlar har vi fått? Bara nio! Och var är tjugolappen?", frågar Bertil.

"Eva lurade oss och tog den tillsammans med sin tia!", sa Calle.

"Och ändå fick var och en av oss mer än vad vi ville ha", påpekade David.

Hur mycket pengar skulle de dela på och vilka sedlar fick var och en av dem?

2. Låt ABC vara en rättvinklig triangel med rätt vinkel vid A. Låt AD vara höjden från A till hypotenusan BC. Skärningspunkterna mellan cirkeln med diametern AD och sidorna AB och AC betecknas K och L. Visa att avstånden KL och AD är lika.

Lösning           Vinnare:   Daniel Ishak, Wenströmska gymnasiet, Västerås.

Sommaren 2005

1. Tre systrar säljer äpplen. Anna har 10, Britt 30 och Cilla 50 äpplen. Alla tre säljer till samma pris men när de har sålt alla sina äpplen, har de tjänat tio kronor var.

Hur gjorde de? Först sålde de äpplen i grupper om a stycken och tog betalt en krona per grupp så länge äpplen räckte. Sedan ändrade de priset till b kronor för ett äpple. Både a och b är positiva heltal.

Bestäm a och b!

2. Låt P(x) vara ett polynom av grad minst ett, sådan att P(x) P(x+1) = P(x2+x+1) för alla reella x. Har P(x) några reella rötter? Hur många?

3. Erik, Fredrik och Gustav står en efter en i en kö. Från en låda med två vita och tre svarta mössor (de känner pojkarna till) plockar vi tre mössor och sätter på deras huvuden så att Fredrik bara ser Eriks mössa och Gustav bara ser Eriks och Fredriks mössor. Erik ser inget.

Om vi nu frågar Gustav vilken mössa han har, så vet han inte. Fredrik kan inte heller svara vilken färg han fick.

Kan Erik med hjälp av detta avgöra vilken färg hans mössa har? I så fall vilken?

Lösning           Vinnare:   Nima Amini, Vasaskolan, Gävle.

Oktober 2005

1. Antag att x är ett reellt tal som uppfyller ekvationen x5 + x = 1. Visa att x3 + x2 = 1.

2. Visa att varje triangel ligger i en likbent triangel vars area är högst (1 + 51/2)/2 gånger så stor som den ursprungliga triangelns area.

Lösning           Vinnare:   Karl Harmenberg, Östra Reals Gymnasium.

November 2005

1. Hitta alla positiva lösningar till ekvationen x1/ xn + x2/ xn-1 + ... + xn/ x1 = n, där n är ett naturligt tal.

2. I en regelbunden 12-hörning numreras hörnen från 1 till 12. Man drar linjer från hörn 1 till hörn 6, från hörn 1 till hörn 9, från hörn 2 till hörn 6 och från hörn 2 till hörn 9. Om 12-hörningen skärs längs dessa linjer, delas den upp i sex delar. Dessa delar kan sedan sammanfogas till en annan välbekant geometrisk figur. Vilken?

Lösning           Vinnare:   -

Julnötter 2005

1. n punkter på en cirkel numreras från 1 till n. Man drar sedan ett antal kordor som förbinder par av dessa punkter. För varje tal k=1, ... ,n skall k dela summan av de tal som k har förbundits med genom dessa kordor. Visa att det är möjligt att dra minst (n-1)(n-2)/2 kordor så att detta villkor uppfylls.

2. Martin bestämmer sig för att gå till sin kompis Oscar, som bor 2 km långt bort. Han går raka vägen och när han har gått en fjärdedel av sträckan, ringer Ludwig (som också bor 2 km från Oscar) på Martins mobil och säger att Oscar är där och att Martin också skall komma och ta med sig sina Pokemon kort. Dem hade Martin glömt hemma men han ringer till sin bror Tomas och ber honom att gå med korten direkt till Ludwig. Samtidigt ändrar Martin riktningen och går raka vägen till Ludwig. Han kommer dit samtidigt som Tomas, tackar för Pokemon korten och så leker de alla fyra tillsammans. Hur långt är det från Martins och Tomas hem till Ludwig om vi vet att båda gick lika snabbt och med jämn hastighet längs raka linjer?

Lösning           Vinnare:   Gustav Ståhl, Östra Reals Gymnasium


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03