Göm meny

April 2005

1 Antag att varje punkt i planet är antingen röd eller blå. Visa att det finns en liksidig triangel vars alla hörn har samma färg.

2. Lös ekvationen (2+x)1/3 + (2-x)1/3 = 2. (Utan dator.)

Lösningar

1. Betrakta en regelbunden sexhörning ABCDEF i planet. Låt dess mittpunkt M vara t.ex. röd. Om alla hörn A,B,C,D,E och F är blå, så får vi den blåa triangeln ACE. Annars är en av hörnen röd, t.ex. A. Om en av dess grannar B och F är röd, så är en av trianglarna ABM och AFM röd. Om både B och F är blåa, så får vi antingen den blåa triangeln BDF eller så är D röd. Nu har vi antingen den röda triangeln CDM eller så är C blå. Linjerna AB och CD skär varandra i punkten P. Om P är röd, så bildas den röda triangeln ADP och om P är blå, så ingår den i den blåa triangeln BCP.

/Jana

2. Ekvationen är ekvivalent med (2+x)1/3 = 2-(2-x)1/3. Kubering av båda leden och förenkling leder till ekvationen 3 y2 - 6 y + 2 = 0, där y = (2+x)1/3.

Vi får lösningarna y1 = 1 + (1/3)1/2 och y2 = 1 - (1/3)1/2, vilket ger x1 = 10/33/2 och x2 = -10/33/2.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03