Homepage
Julnötter 2005
1. n punkter på en cirkel numreras från 1 till n. Man drar sedan ett antal kordor som förbinder par av dessa punkter. För varje tal k=1, ... ,n skall k dela summan av de tal som k har förbundits med genom dessa kordor. Visa att det är möjligt att dra minst (n-1)(n-2)/2 kordor så att detta villkor uppfylls.
2. Martin bestämmer sig för att gå till sin kompis Oscar, som bor 2 km långt bort. Han går raka vägen och när han har gått en fjärdedel av sträckan, ringer Ludwig (som också bor 2 km från Oscar) på Martins mobil och säger att Oscar är där och att Martin också skall komma och ta med sig sina Pokemon kort. Dem hade Martin glömt hemma men han ringer till sin bror Tomas och ber honom att gå med korten direkt till Ludwig. Samtidigt ändrar Martin riktningen och går raka vägen till Ludwig. Han kommer dit samtidigt som Tomas, tackar för Pokemon korten och så leker de alla fyra tillsammans. Hur långt är det från Martins och Tomas hem till Ludwig om vi vet att båda gick lika snabbt och med jämn hastighet längs raka linjer?
Lösningar
1. Dra först alla kordor från talet n. Om summan av talen 1 till n-1 inte är delbar med n, stryker man en av kordorna så att summan av de kvarvarande blir delbar med n. Sedan går man vidare till n-1, och prövar först att dra kordor till alla mindre tal. Om summan av kordorna från n-1 inte är delbar med n-1 justerar man genom att stryka en korda från n-1 till ett mindre tal. På detta sätt fortsätter man med talen n-2, n-3 osv ner till talet 2, som får en korda till 1 om summan av de övriga kordorna från 2 är udda. Det blir då minst n-2 kordor från n till lägre tal, n-3 kordor från n-1 till lägre tal osv. Totalt blir det minst 1+2+3+...+(n-2) = (n-1)(n-2)/2 kordor.
/Johan
2. Martins och Tomas hem (M), Oscars hem (O) och Ludwigs hem (L) bildar en likben triangel MOL. Sidorna MO och OL är båda 2km långa. Martin går längs sträckan MO och efter 0,5km (i punkten S) ändrar han riktningen och går mot punkten L. Samtidigt går Tomas längs sträckan ML. Eftersom Tomas och Martin kommer till Ludwig samtidigt, är sträckorna SL och ML lika långa och triangeln MLS är likbent. Dess bas MS är 0,5km lång. Låt C vara mittpunkten av sträckan MS. Observera att sträckan CL är vinkelrätt mot sträckan MO, dvs. trianglarna OCL och LCM är rättvinkliga. (Rita en bild!) Pythagoras sats säger nu att
|ML|2 = |MC|2 + |CL|2 och
|CL|2 + |OC|2 = |OL|2 = 4.
Eftersom |OC| = 7/4 km och |MC| = 1/4 km, får vi
|ML|2 = 1/16 + |CL|2 = 1/16 + 4 - |OC|2 = 1/16 + 4 - 49/16 = 1 km.
Från Martins och Tomas hem till Ludwig är det alltså exakt 1km.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03