Homepage
November 2005
1. Hitta alla positiva lösningar till ekvationen x1/ xn + x2/ xn-1 + ... + xn/ x1 = n, där n är ett naturligt tal.
2. I en regelbunden 12-hörning numreras hörnen från 1 till 12. Man drar linjer från hörn 1 till hörn 6, från hörn 1 till hörn 9, från hörn 2 till hörn 6 och från hörn 2 till hörn 9. Om 12-hörningen skärs längs dessa linjer, delas den upp i sex delar. Dessa delar kan sedan sammanfogas till en annan välbekant geometrisk figur. Vilken?
Lösningar
1. Beroende på om n är jämnt eller udda, skriv n=2k eller n=2k+1. För varje j=1,...,k har vi
xj / xn+1-j + xn+1-j / xj = (xj - xn+1-j )2 / xj xn+1-j + 2 >= 2
med likhet endast om xj = xn+1-j. Detta visar att för n=2k är alltid
x1/ xn + ... + xn/ x1 = (x1/ xn + xn/ x1) + ... + (xk/ xk+1 + xk+1/ xk ) >= 2 + 2 + ... + 2 = 2k = n,
medan för n=2k+1 har vi
x1/ xn + ... + xn/ x1 = (x1/ xn + xn/ x1) + ... + (xk/ xk+2 + xk+2/ xk ) + xk+1/ xk+1 >= 2 + 2 + ... + 2 + 1 = 2k+1 = n,
med likhet endast om xj = xn+1-j för alla j=1,...,k. De sökta lösningarna är alltså alla lösningar
xj = xn+1-j = aj , där a1, a2, ... är godtyckliga positiva tal.
/Jana
2. Skärningspunkten mellan diagonalerna 16 och 29 betecknas S. Randvinkelsatsen visar att den lilla triangeln med hörn 1S2 har vinklar 60o och är därmed liksidig. Dess sidlängd är samma som tolvhörningens sidlängd och betecknas a.
Randvinkelsatsen visar också att:
De avlånga trianglarna 62S och 91S har vinklar 15o, 45o och 120o. Deras sidlängder är a < b < c.
Den stora femhörningen S6789 har vinklar 60o, 90o, 150o, 150o och 90o. Dess sidlängder är a, a, a, b, b.
Femhörningen 23456 har vinklar 45o, 150o, 150o, 150o och 45o. Dess sidlängder är a, a, a, a, c. (P.s.s den andra avlånga femhörningen.)
Dessa sex delar kan sedan sättas ihop i en kvadrat med sidlängd c (prova och rita själv!).
Vi beskriver hur delarna skall ligga och motiverar varför de passar ihom genom att kolla att vinkelsumman i varje mötespunkt är den rätta. Man ser lätt att sidlängder stämmer överens. I en av kvadratens hörn lägger vi ihop de två avlånga trianglarna 91S och 62S och den stora femhörningen S6789. Vinkelsumman blir 15o + 60o + 15o = 90o.
I det motsatta hörnet möts de två avlånga femhörningarna med vinklar 45o + 45o = 90o. Deras gemensamma sida med längd a slutar i en punkt där dessa två femhörningar möter den lilla liksidiga triangeln och vinkelsumman är 150o + 150o + 60o = 360o.
I den lilla triangelns övriga hörn möter denna triangel den stora femhörningen S6789 och en av de avlånga femhörningarna. Vinkelsumman i var och en av dessa punkter är 60o + 150o + 150o = 360o.
Om vi nu fortsätter längs en av den stora femhörningens kanter, så når vi en punkt där denna stora femhörning möter en avlång femhörning och en avlång triangel med vinkelsumman 90o + 150o + 120o = 360o. Från denna punkt kommer vi sedan till en av den stora kvadratens hörn, där den avlånga femhörningen och den avlånga triangeln möts och vinkelsumman blir 45o + 45o = 90o.
Vi har nu kontrollerat alla hörn och mötespunkter i kvadraten.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03