Homepage
Februari-Mars 2005
1 Låt p och q vara primtal större än 6. Visa att p4- q4 är delbart med 240.
2. Låt ABCDEFGHI vara en regelbunden niohörning. Diagonalerna AD, BF and CG begränsar en triangel KLM. (Rita!) Hitta alla de 18 trianglar som är likformiga med triangeln KLM och vars alla hörn finns bland niohörningens hörn.
Lösningar
1.
Vi har p4- q4 =
(p2+ q2)(p2- q2) =
(p2+ q2)(p+q)(p-q).
Eftersom p och q båda är udda, så är även p2 och q2
udda.
Därmed är var och en av p2+ q2, p+q, p-q jämnt.
Dessutom måste exakt en av p+q och p-q vara delbart med 4, ty
(p+q)-(p-q)=2q är inte det.
Det följer att p4- q4 är delbart med 2*2*4=16.
Vid division med 3 ger p och q rest 1 eller 2.
Alltså ger både p2 och q2 rest 1 vid division
med 3 och p2- q2 är delbart med 3.
På samma sätt fås att p2 och q2 ger rest 1 eller
4 vid division med 5 och alltså är antingen
p2+ q2 eller p2- q2
delbart med 5.
Detta ger att p4- q4 är delbart med 3*5*16=240.
/Jana
2.
Låt K vara skärningspunkten mellan AD och BF, L mellan AD och CG och M
mellan BF och CG.
Vinklarna <LMK och <CGA är likbelägna och därmed lika.
På samma sätt är <KLM = <ADF.
Trianglarna ADF och ACG är likformiga (den ena fås från den andra
genom rotation).
Alltså är <DFA = <CGA = <LMK och <GAC = <ADF = <KLM.
Det följer att trianglarna ADF och KLM har samma vinklar och är därmed
likformiga.
Även ADF:s spegelbild ADG är likformig med KLM.
Om vi roterar trianglarna ADF och ADG 40 grader åtta gånger, får vi 16
likformiga trianglar till.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03