Homepage
Maj 2005
1 Adam, Bertil, Calle och David vill dela på en summa pengar bestående av tio sedlar. En av sedlarna är en tjugolapp och de övriga har valörer 10, 50 och 100 kronor. Adam vill ha en tredjedel av pengarna, Bertil en fjärdedel, Calle en femtedel och David en sjättedel. Etersom de inte har någon växel, går det dåligt att dela på pengarna.
De får hjälp av Eva - hon tar pojkarnas sedlar och lägger till sin egen tia. Och vips, så går det att dela jämnt: Adam får en tredjedel, Bertil en fjärdedel, Calle en femtedel och David en sjättedel.
"Tack och hejdå", säger Eva och går därifrån.
"Vad tackade hon för?", undrar Adam.
"Hur många sedlar har vi fått? Bara nio! Och var är tjugolappen?", frågar Bertil.
"Eva lurade oss och tog den tillsammans med sin tia!", sa Calle.
"Och ändå fick var och en av oss mer än vad vi ville ha", påpekade David.
Hur mycket pengar skulle de dela på och vilka sedlar fick var och en av dem?
2. Låt ABC vara en rättvinklig triangel med rätt vinkel vid A. Låt AD vara höjden från A till hypotenusan BC. Skärningspunkterna mellan cirkeln med diametern AD och sidorna AB och AC betecknas K och L. Visa att avstånden KL och AD är lika.
Lösningar
1. Låt x vara summan de skulle dela på. M.h.a. Evas tia fick pojkarna totalt (x+10)(1/3+1/4+1/5+1/6) = (x+10)(1-1/20) kronor. Eva fick resten, d.v.s. 30kr = (x+10)/20. Alltså x = 570kr.
Vilka sedlar var det? Låt antalet tior, femtiolappar och hundralappar vara a,b och c. Då är a+b+c = 9 och 10a + 50b + 100c = 570. Detta ger 4b + 9c = 48 och vi ser att b måste vara delbart med 3 och c med 4 (ty 48 är det). Eftersom b+c < 9 och b och c är positiva heltal, så är b=3 och c=4, och a=2.
En lösning är: Adam fick 100+50+50, Bertil 100+50, Calle 100+10+10 och David 100. Om Bertil, Calle eller David byter sin hundralapp mot Adams två femtiolappar, så får vi tre lösningar till.
/Jana
2. Rita en bild! Punkterna A,K,D och L ligger alla på cirkeln med diametern AD. Vinklarna < AKD och < ALD är rätta vinklar enligt randvinkelsatsen (eller snarare dess specialfall, Thales sats, som den grekiske matematikern Thales kände till redan för 2600 år sedan). Även < KAL är rätt vinkel enligt förutsättningarna. Alltså är AKDL en rektangel med diagonalerna AD och KL, som måste vara lika långa.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03