Homepage
Sommaren 2005
1. Tre systrar säljer äpplen. Anna har 10, Britt 30 och Cilla 50 äpplen. Alla tre säljer till samma pris men när de har sålt alla sina äpplen, har de tjänat tio kronor var.
Hur gjorde de? Först sålde de äpplen i grupper om a stycken och tog betalt en krona per grupp så länge äpplen räckte. Sedan ändrade de priset till b kronor för ett äpple. Både a och b är positiva heltal.
Bestäm a och b!
2. Låt P(x) vara ett polynom av grad minst ett, sådan att P(x) P(x+1) = P(x2+x+1) för alla reella x. Har P(x) några reella rötter? Hur många?
3. Erik, Fredrik och Gustav står en efter en i en kö. Från en låda med två vita och tre svarta mössor (de känner pojkarna till) plockar vi tre mössor och sätter på deras huvuden så att Fredrik bara ser Eriks mössa och Gustav bara ser Eriks och Fredriks mössor. Erik ser inget.
Om vi nu frågar Gustav vilken mössa han har, så vet han inte. Fredrik kan inte heller svara vilken färg han fick.
Kan Erik med hjälp av detta avgöra vilken färg hans mössa har? I så fall vilken?
Lösningar
1. Systrarna har 10+20j äpplen var, där j=0,1,2 (Anna, Britt, Cilla). Var och en av dem fick först xj kronor för axj äpplen och hade sedan yj äpplen kvar.
De fick alltså xj + byj = 10 kronor var. Vi löser systemet av sex ekvationer (j=0,1,2):
axj + yj = 10+20j
xj + byj = 10.
Subtrahera den första ekvationen från en a-multipel av den andra. Vi får för j=0,1,2:
(ab-1) yj = 10(a-1)-20j.
Detta ger:y0 = 10(a-1)/(ab-1),
y1 = y0 - 20/(ab-1) och
y2 = y0 - 40/(ab-1).
Eftersom alla yj är icke-negativa heltal, måste 20 vara delbart med ab-1. Det ger oss möjligheter ab = 2,3,5,6,11,21.
Eftersom Cilla fick bara 10 kr för sina 50 äpplen, måste a vara minst 5 och och vi får möjligheterna:
a=5 och b=1, a=6 och b=1, a=7 och b=3, a=11 och b=1, a=21 och b=1.
En kontroll visar att de första två möjligheterna inte uppfyller kraven, medan de sista tre gör det och är därmed lösningar till uppgiften.
(Eventuellt kan man tolka uppgiften så att a måste vara mindre än 10, dvs. att Anna verkligen kunde sälja minst en hel grupp. Då får vi bara lösningen a=7 och b=3.)
/Jana
2. P(x) kan inte ha några reella nollställen (rötter). Bevis (så kallad motsägelsebevis):
Antag att P(x) har minst ett reellt nollställe. Eftersom P(x) bara kan ha ändligt många nollställen, så kan vi välja det största av dessa reella nollställen.
Kalla detta största reella nollställe för r. Då gäller P(r2+r+1) = P(r)P(r+1) = 0, dvs. r2+r+1 är också ett nollställe till P(x).
Eftersom r antogs vara ett reellt tal, så är r2+r+1 > r.
Men r var ju störst, så vi har fått en motsägelse. Antagandet att P(x) har minst ett reellt nollställe var alltså fel, dvs. P(x) saknar reella nollställen.
/Jana
3. Gustav vet inte vilken mössa han har, alltså ser han minst en svart mössa på Eriks och Fredriks huvuden. (Om han såg två vita, så skulle han ju veta att han måste ha en svart.)
Detta inser Fredrik, men han kan inte heller avgöra vilken färg han har. Det betyder att han ser en svart mössa på Eriks huvud. (Om han såg en vit, så skulle han veta att han själv hade en svart.)
Med detta resonemang kan Erik avgöra vilken färg han själv har, nämligen svart.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03