Göm meny

Oktober 2005

1. Antag att x är ett reellt tal som uppfyller ekvationen x5 + x = 1. Visa att x3 + x2 = 1.

2. Visa att varje triangel ligger i en likbent triangel vars area är högst (1 + 51/2)/2 gånger så stor som den ursprungliga triangelns area.

Lösningar

1. Polynomet x5 + x - 1 kan faktoriseras som (x3 + x2 - 1) (x2 - x + 1). Eftersom en lösning till ekvationen x5 + x = 1 är ett nollställe till detta polynom, måste en sådan lösning vara ett nollställe till antingen x3 + x2 - 1 eller x2 - x + 1.

Polynomet x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 3/4 saknar dock reella nollställen. Varje reell lösning till ekvationen x5 + x = 1 är alltså ett nollställe till polynomet x3 + x2 - 1, dvs en lösning till ekvationen x3 + x2 = 1.

Det kan även nämnas att eftersom derivatan av x5 + x - 1, dvs x4 + 1, alltid är positiv, finns bara en reell lösning, som är ungefär 0.7548776662.

/Johan

2. Kalla trianglen för ABC, med vinklar alpha, beta, gamma och sidor a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|. Vi kan anta att a>b>c.

Om vi förlänger sidan CA i riktningen från hörnet C, så att den får längd a, så får vi en likbent triangel A'BC med vinkel gamma och sidorna BC och CA', båda med längd a.

På samma sätt förlänger vi sidan AB bortom B, så att den blir b lång och får triangel AB'C med vinkel alpha och sidorna AB' och CA, båda med längd b. Nu använder vi areaformeln

A = Area(ABC) = ab sin(gamma) = bc sin(alpha) = ca sin(beta)

och får att

Area(A'BC) = a2 sin(gamma) = aA/b

och

Area(AB'C) = b2 sin(alpha) = bA/c.

Om a/b <= (1+51/2)/2 eller b/c <= (1+51/2)/2, så är vi klara.

Men triangelolikheten visar att vi inte kan ha både a/b > (1+51/2)/2 och b/c > (1+51/2)/2.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03