Göm meny

Februari 2010

Lös ekvationen 2010x · 2010y = x2010 · y2010, där x och y är positiva heltal.

Lösning          


Mars 2010

Lös ekvationssystemet
x3 + xy2 = y3
y3 + yz2 = z3
z3 + zx2 = x3,

där x,y och z är reella tal.

Lösning          


April 2010

I den regelbundna sexhörningen ABCDEF delar punkterna A', B', C', D', E' och F' var och en av sidorna AB, BC, CD, DE, EF och FA i förhållandet a:b, där a och b är positiva reella tal. Bestäm a och b så att arean av den regelbundna sexhörningen A'B'C'D'E'F' blir så liten som möjligt.

Lösning          


Maj 2010

Låt x och y vara två godtyckliga positiva tal sådana att 1/x - 1/y = 1/(x+y). Beräkna x/y + y/x och svara på ett så enkelt sätt som möjligt (det blir ett tal!).

Lösning          


Vårterminens vinnare:   Angelos Toytziaridis


Sommar 2010

1. Tre cirklar med radier 1, 2 och 3 tangerar varandra utifrån (d.v.s. varje par av cirklar tangerar varandra och ingen cirkel ligger inuti en annan).
Låt A, B och C vara cirklarnas tangeringspunkter. Beräkna arean av triangeln ABC.

2. Tomas leker med ordet CINCINNATI. Han tilldelar bokstäverna C,I,N,A,T siffrorna 1 till 5, så att olika bokstäver får olika siffror, och multiplicerar siffrorna i ordet CINCINNATI. Sedan tilldelar han siffrorna 1 till 5 till bokstäverna på ett annat sätt och multiplicerar dem igen. Hur många olika produkter kan han få så här?

3. Vilket av talen ( 20102010 + 1 )1/2 - ( 20102010 )1/2 och ( 20102010 )1/2 - ( 20102010 - 1 )1/2 är större?
Motivera noga! (Exponenten 1/2 betyder förstås "roten ur".)

Lösning          


Sommarens vinnare:   Gustaf Tegner


September 2010

Finns det en triangel vars alla tre höjder är kortare än 1cm och area är mer än 1m2?

Lösning          


Oktober 2010

Lisa bor i en stad, där alla gator bildar ett rätvinkligt rutnät med gator i nord-sydlig riktning och avenyer i öst-vestlig riktning. Avståndet mellan parallella gator och avenyer är 100m. Hon bor i korsningen mellan 0:te gatan och 0:te avenyn och går varje dag till skolan som ligger i korsningen mellan 20:e gatan och 5:e avenyn. Hon går alltid kortaste vägen, men det finns ju förstås många sådana. Hon har bestämt sig för att prova alla och går varje gång en annan (kortaste) väg, en på morgonen och en på kvällen, även lördagar och söndagar. Kan hon på det här sättet prova alla kortaste vägar mellan hemmet och skolan och hur lång tid kommer det ta i så fall?

Lösning          


November 2010

I en familj är pappan dubbelt så gammal som alla barn tillsammans. Förra året var det mamman som var dubbelt så gammal som alla barn tillsammans. När mamman blir lika gammal som pappan är nu, så kommer hon vara lika gammal som alla barn tillsammans. Familjens sammanlagda ålder är mindre än 100 år. Hur gamla är föräldrarna och hur många barn har de?

Lösning          


Julnötter 2010

1. Vilket tal är större? 201020102011 eller 201120102010 ?

2. Finns det positiva heltal p och q sådana att ekvationen x3 + p x2 + q x + 2011 = 0 har endast heltalsrötter? Bestäm i så fall p, q, och rötterna!

Lösning          



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27