Göm meny

Mars 2010

Lös ekvationssystemet
x3 + xy2 = y3
y3 + yz2 = z3
z3 + zx2 = x3,

där x,y och z är reella tal.

Lösning

Observera först att om en av x, y och z är noll, så måste även de övriga vara noll och att detta är en lösning till systemet. (T.ex. om x=0, så ger första ekvationen att y=0, o.s.v.) Vi skall visa att detta är den enda lösningen. Antag att ingen av x, y och z är noll och skriv systemet som
x3 ( 1 + y2/x2) = y3
y3 ( 1 + z2/y2) = z3
z3 ( 1 + x2/z2) = x3.

Multiplicera alla tre ekvationerna med varandra, vi får
x3 y3 z3 ( 1 + y2/x2) ( 1 + z2/y2) ( 1 + x2/z2) = x3 y3 z3.

Eftersom ingen av x, y och z är noll, så kan vi dela med x3 y3 z3 och får
( 1 + y2/x2) ( 1 + z2/y2) ( 1 + x2/z2) = 1.
Men eftersom var och en av x2, y2 och z2 är positiv, så är vänsterledet större än ett, vilket leder till en motsägelse. Den enda lösningen är alltså x=y=z=0.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03