Göm meny

September 2009

1. Bestäm, utan hjälp av dator, om man kan till varje bokstav i ordet "GYMNASIET" tilldela en siffra mellan 1 och 9, så att olika siffror motsvarar olika bokstäver och följande multiplikation gäller: GYMNASIET = SNART · START


Lösning

Eftersom bokstäverna i GYMNASIET tilldelas siffror 1 till 9, så måste R=0 i SNART och START. Låt START = 100x + T och SNART = 100x + T + 1000y, där x är ett tresiffrigt tal och y=N-T (vilket kan vara negativt). Då är (efter förenkling):
GYMNASIET = SNART · START = 1000 ( 100xy + 10x 2 + Ty ) + 200xT + T 2
och vi ser att de sista två siffrorna i GYMNASIET är T 2. Alltså måste T 2 sluta med siffran T, dvs. T=1, T=5 eller T=6.
Om T=1, så skulle E i ET behöva vara noll, vilket är omöjligt. Om T=5, så är 200xT + T 2 = 1000x + 25 och I i IET skulle behöva vara noll.
Alltså T=6 och E=3, eftersom 10E + T = T 2 = 36.

Låt oss titta på S istället. Om S > 3, så är SNART > 30000 och START > 36000, alltså SNART · START > 1080000000 skulle vara tiosiffrigt, vilket det inte är. Alltså S=1 eller S=2.

Enligt ovan är
GYMNASIET = SNART · START = 1000 ( 100xy + 10x2 + 6y ) + 1200x + 36 = 10000 ( 10xy + x2) + 200( 30y + 6x ) + 36,
vilket visar att I i IET måste vara en jämn siffra, alltså I=2, I=4 eller I=8.
Dessutom ser vi att I måste vara sista siffran i 12A, eftersom A är sista siffran i x. Detta ger oss möjligheterna:
A=1 och I=2
A=2 och I=4
A=4 och I=8
A=7 och I=4
A=9 och I=8.
Den första möjligheten går inte, eftersom S=1 eller S=2, enligt ovan.

Eftersom A är sista siffran i x, så kan vi skriva x=10z+A, där z är ett tvåsiffrigt tal, och
GYMNASIET = SNART · START = 10000 ( 10xy + x2) + 6000y + 1200(10z+A) + 36 = 10000 ( 10xy + x2) + 2000( 3y + 6000z ) + 1200A + 36.
Eftersom A=2, A=4, A=7 eller A=9, så är 1200A=2400, 1200A=4800, 1200A=8400 eller 1200A=10800.
Detta visar att S i SIET måste vara jämnt, alltså S=2, vilket i sin tur utesluter A=2. Vi har tre möjligheter kvar för A ( = 4, 7, 9 ).

Om N=4 eller N=5, så är 24000 < SNART < 26000 och 26000 < START < 27000, alltså
624000000 < SNART · START < 702000000 och eftersom Y inte kan vara 0, så skulle detta innebära att G=6, vilket går inte (då T=6). Alltså har vi kvar möjligheterna:
N=1 och A = 4, 7, 9
N=7 och A = 4, 9
N=8 och A = 7 (då A=4 eller A=9 skulle ge I=8)
N=9 och A = 4, 7.
Det är nu enkelt att kolla genom multiplikation att ingen av dessa möjligheter fungerar (produkten SNART · START består inte av nio olika siffror). Det går alltså inte att tilldela siffrorna 1 till 9 till bokstäverna i GYMNASIET så att den givna multiplikationen stämmer.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27