Göm meny

Februari 2009

Vid varje sida i en rätvinklig triangel ritar man en kvadrat med samma sidlängd som triangelsidan (som i Pythagorassats). Kvadraternas hörn (de som inte hör till triangeln) bildar en sexhörning. Visa att sexhörningens area är minst 12 gånger triangelns area. För vilka trianglar blir den exakt 12 gånger större?

Lösning          


Mars 2009

Låt a, b, c, d, e vara fem efter varandra följande positiva heltal sådana att an + bn + cn = dn + en för något positivt heltal n. Visa att a + b + c + d + e är delbart med 30.

Lösning          


April 2009

Två fyrhörningar är inskrivna i en cirkel. Den enas hörn delar cirkeln i fyra cirkelbågar vars längder är i förhållandet 1 : 5 : 7 : 11 (i godtycklig ordning). Den andra fyrhörningen delar cirkeln i förhållandet 3 : 5 : 7 : 9, också i godtycklig ordning. Vilken av fyrhörningarna har större area? Har den också längre omkrets?

Lösning          


Maj 2009

Ett tåg åker med jämn hastighet längs en väg. På vägen åker två bilar, en med hastighet 54 km/h mot tågets riktning, den andra i 72 km/h i samma riktning som tåget. Första bilen passerar hela tåget på 12 sekunder, den andra bilen på 72 sekunder. Bestäm tågets längd och hastighet.

Lösning          


Vårterminens vinnare:   Magnus Johansson och Ola Jacobsen


Sommar 2009

1. För varje positivt heltal $n$ bestäm summan $\displaystyle \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n-1}{n!}$, där $n!= 1\cdot 2\cdot \cdots n$ är $n$:s fakultet.

2. Bland sju guldmynt är exakt ett falskt mynt, dvs. det har en annan vikt än de övriga mynten. Vi vet inte om det falska myntet är lättare eller tyngre. Kan man hitta det falska myntet med hjälp av tre vägningar på en balansvåg, dvs. en våg där man bara kan jämföra två vikter?

3. Punkten P ligger innuti kvadraten ABCD så att |AP| : |BP| : |CP| = 1 : 2 : 3. Bestäm vinkeln APB.

Lösning          


September 2009

Bestäm, utan hjälp av dator, om man kan till varje bokstav i ordet "GYMNASIET" tilldela en siffra mellan 1 och 9, så att olika siffror motsvarar olika bokstäver och följande multiplikation gäller: GYMNASIET = SNART · START

Lösning          


Oktober 2009

Visa att om ett godtyckligt tresiffrigt tal skrivs fyra gånger efter sig, så bildas ett tolvsiffrigt tal som är delbart med 9901. Vilka andra fyrsiffriga tal har samma egenskap som 9901 ovan?

Lösning          


November 2009

Låt ABC vara en godtycklig triangel och P en punkt inuti i ABC. Genom P drar vi tre linjer, var och en parallell med en triangelsida. Dessa tre linjer delar triangeln ABC i tre mindre trianglar och tre parallellogram. Om de små trianglarna har areor p, q, r, vad är triangel ABC:s area?

Lösning          


Julnöt 2009

Vilka av talen 123, 123123, 123123123, 123123123123, 123123123123123, 123123123123123123, ... är delbara med 2009?

Lösning          


Höstterminens vinnare:   Henrik Henriksson, Mariehamn



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27