Göm meny

Oktober 2009

Visa att om ett godtyckligt tresiffrigt tal skrivs fyra gånger efter sig, så bildas ett tolvsiffrigt tal som är delbart med 9901. Vilka andra fyrsiffriga tal har samma egenskap som 9901 ovan?


Lösning

Låt x vara det tresiffriga talet. Det 12-siffriga talet är då 1001001001x.
Observera att 1001001001 = 1001 · 1000001, samt att 1001 = 7 · 11 · 13 och
1000001 = 1003 + 1 = (100+1)(1002-100+1) = 101 · 9901, enligt formeln x3 + y3 = (x+y)(x2-xy+y2).
Notera att både 101 och 9901 är primtal.
Talet 1001001001, och därmed även 1001001001x, är alltså delbart med 9901.
För att hitta alla fyrsiffriga tal med samma egenskap som 9901, bildar vi alla möjliga fyrsiffirga produkter av talen 7, 11, 13 och 101,
dvs. 7 · 11 · 13 = 1001, 11 · 101 = 1111, 13 · 101 = 1313, 7 · 11 · 101 = 7777 och 7 · 13 · 101 = 9191.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27