Göm meny

Februari 2008

Om a, b, c är rationella tal (d.v.s. sådana som kan skrivas som en kvot av heltal) och ab + bc + ca = 1, så är

(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) kvadrat av ett rationellt tal.


Lösning          


Mars 2008

Peter väljer ett godtyckligt fyrsiffrigt tal vars alla siffror är olika. Av dessa siffror bildar han två nya tal, där i det ena är siffrorna i avtagande ordning och i det andra i växande ordning. Han subtraherar det mindre talet från det större. Visa att resultatet har siffersumma 18.


Lösning          


April 2008

Tina viker ett papper sju gånger och sedan klipper itu längs en linje. Vilket är det maximala antalet pappersbitar hon kan få? (Med en vikning menas att pappret viks längs en linje. Vid varje nästa vikning viks det redan vikta pappret.)


Lösning          


Maj 2008

Låt a vara ett reellt tal och x1, x2, x3 rötter till ekvationen x3 - x2 + ax + a = 0. Visa att (x1+1) (x2+1) (x3+1) = 2.


Lösning          

Vårterminens vinnare:   Gustav Nilsson, Ängelholm, Johan Gustafsson, Bromma och Jeremias Berg, Grankulla, Finland


Sommar 2008

1. Låt x,y,z vara icke-negativa reella tal sådana att x+y+z=1.

Visa att x/(x+1) +y/(y+1) + z/(z+1) är högst lika med 3/4.

2. Genom staden M går två raka vägar. Längs den ena vägen ligger städerna A och B på var sin sida om staden M, båda med avstånd 1 mil från staden M. Var på den andra vägen skall man bygga staden S så att kvoten mellan avstånden |AS| och |BS| blir maximal?

3. De tre primtalen 2,5,13 har följande egenskap: om vi väljer två av dem godtyckligt, multiplicerar ihop och subtraherar en etta, så får vi kvadraten på ett heltal, t.ex. 2 · 5 - 1 = 32. Kan man hitta ett till primtal p så att även de fyra talen 2,5,13,p har samma egenskap?


Lösning          

Sommarens vinnare:   Jonathan Lindgren, Vallentuna


September 2008

Moa har bakat en tårta i form av en (oregelbunden) triangel. Den har chockladglasyr på ovansidan och vaniljkräm med strössel på de lodräta sidorna. Tårtan skall delas mellan n kompissar. Hur skall Moa skära (med raka lodräta snitt) så att alla får lika mycket tårta, lika mycket chockladglasyr och lika mycket vaniljkräm med strössel? Alla n bitarna skall vara sammanhängande.


Lösning          


Oktober 2008

Koefficienterna i ekvationen an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0 är alla reella och bildar en geometrisk följd. Bestäm antalet reella rötter till ekvationen (beroende på n).


Lösning          


November 2008

I en kvadrat med sidlängd 1 är en mindre kvadrat inskriven, så att dess fyra hörn delar den större kvadratens sidor i förhållandet 3:4. I den mindre kvadraten skrivs sedan in en ännu mindre kvadrat och man fortsätter på samma sätt för att få en oändlig följd av minskande kvadrater. Beräkna den sammanlagda omkretsen av alla kvadrater.


Lösning          


Julnötter 2008

1. Visa att talet n2 - n + 9 inte är delbart med 2009 för något heltal n.

2. Lös ekvationssystemet

x1 + x2 + ... + x2009 = 1

x12 + x22 + ... + x20092 = 1/ 2009


Lösning          

Höstterminens vinnare:   Mikael Hammar



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2009-08-25