Göm meny

Sommar 2008

1. Låt x,y,z vara icke-negativa reella tal sådana att x+y+z=1. Visa att x/(x+1) +y/(y+1) + z/(z+1) är högst lika med 3/4.

Lösning

Observera först att x/(x+1) +y/(y+1) + z/(z+1) = 3 - [1/(x+1) +1/(y+1) + 1/(z+1)]. Olikheten mellan det geometriska och aritmetiska medelvärdet ger

[1/(x+1) +1/(y+1) + 1/(z+1)]/3 >= [1/(x+1)(y+1)(z+1)]1/3 och [(x+1) + (y+1) + (z+1)]/3 >= [(x+1)(y+1)(z+1)]1/3.

Multiplicera dessa två olikheter. Det leder till [1/(x+1) +1/(y+1) + 1/(z+1)] >= 9/[(x+1) + (y+1) + (z+1)] = 9/4.

Alltså x/(x+1) +y/(y+1) + z/(z+1) =< 3 - 9/4 = 3/4.

2. Genom staden M går två raka vägar. Längs den ena vägen ligger städerna A och B på var sin sida om staden M, båda med avstånd 1 mil från staden M. Var på den andra vägen skall man bygga staden S så att kvoten mellan avstånden |AS| och |BS| blir maximal?

Lösning

Låt x vara avståndet mellan städerna S och M och v vinkeln AMS. Vi kan anta att v är mellan 90o och 180o, annars väljer vi S på andra sidan om staden M.

Cosinusstasen ger |AS|2 = 1 + x2 - 2x cos v och |BS|2 = 1 + x2 + 2x cos v. Vi skall alltså maximera kvoten

(1 + x2 - 2x cos v)/(1 + x2 + 2x cos v) = 1 - (4x cos v)/(1 + x2 + 2x cos v).

Detta är ekvivalent till att minimera kvoten (1 + x2 + 2x cos v)/(- 4x cos v) = [(1-x)2 + 2x(1+cos v)]/(- 4x cos v) = (1-x)2/(- 4x cos v) + (1+cos v)/(- 2cos v).

Eftersom cos v < 0, så ser vi här att den första termen är icke-negativ och lika med noll endast om x=1, medan den andra termen beror inte på x. Vi skall alltså ha x=1, dvs. staden S skall byggas 1 mil från M.

3. De tre primtalen 2,5,13 har följande egenskap: om vi väljer två av dem godtyckligt, multiplicerar ihop och subtraherar en etta, så får vi kvadraten på ett heltal, t.ex. 2 · 5 - 1 = 32. Kan man hitta ett till primtal p så att även de fyra talen 2,5,13,p har samma egenskap?

Lösning

För ett sådant primtal måste gälla att 2p - 1 = x2 och 5p - 1 = y2 för några positiva heltal x och y.

Alltså skall 3p = y2 - x2 = (y+x)(y-x). Eftersom p>2, så implicerar detta att y-x=1 (och y+x=3p) eller y-x=3 (och y+x=p). Då blir 3p = y+x = 2x+1 eller p = y+x = 2x+3. Vi löser ut p och sätter in i ekvationen 2p - 1 = x2, vilket leder till ekvationerna 3x2 - 4x + 1 = 0 och x2 - 4x - 5 = 0. Den första ekvationen har heltalslösning x=1, vilket ger p=1 (dvs. inget primtal). Den andra ekvationen har en positiv heltalslösning $x=5, vilket ger p=13 (som vi redan hade). Det finns alltså inga fler primtal med den önskade egenskapen.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03