Göm meny

Oktober 2014

Det är välkänt att 144=122. Dessutom är 1444=382. Finns det någon mer kvadrat bland talen 14444, 144444, ... ?

Lösning

Eftersom 144...44 = 4 · 361...11 = 22 · 361...11 (med en etta färre än antalet fyror), så räcker det att studera om talet 361...11 kan vara en kvadrat. Det är det om antalet ettor är noll eller ett, och ger då talen 144 = 4 · 36 = (2 · 6)2 och 1444 = 4 · 361 = (2 · 19)2.
Så antag att talet 361...11 har minst två ettor och att det är en kvadrat, d.v.s. 361...11 = X2 för något positivt heltal X. Skriv X=10A+B, där B är en siffra mellan 0 och 9 och A är ett positivt heltal. Då blir
X2 = (10A+B)2 = 100A2 + 20AB + B2 = 10(10A2 + 2AB) + B2.
Eftersom 361...11 = X2 slutar med en etta, så måste B2 sluta med en etta, och B måste vara 1 eller 9. Om B=1, så är enligt ovan
X2 = 100A2 + 20A + 1, och vi ser att den näst sista siffran i X2 måste vara jämn. Alltså kan X2 inte vara 361...11.
På samma sätt, om B=9, så får vi X2 = 100A2 + 180A + 81 = 100A2 + 10(18A + 8) + 1. Vi ser att även här måste den näst sista siffran vara jämn, alltså kan X2 inte vara 361...11.
Vi har därmed visat att de enda kvadraterna bland talen 144, 1444, 14444, ... är 144=122 och 1444=382.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03