Homepage
Mars 2014
Låt $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ vara en godtycklig reellvärd funktion
definierad på den reella axeln. Betrakta funktionerna
$\displaystyle g(x) = \frac{2f(x)}{f(x)+|f(x)|}$
och
$\displaystyle h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{|f(x)|}}$.
Visa att $g$ är definierad och reellvärd för exakt samma $x$ för vilka
$h$ är definierad och reellvärd (d.v.s. $g$ och $h$ har samma
definitionsmängd), och att $g(x)=h(x)$ för dessa $x$.
Lösning
Om $f(x)>0$, så är $|f(x)|=f(x)$ och därmed \[ g(x)=\frac{2f(x)}{2f(x)} =1 \quad \text{and} \quad h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{f(x)}}=\sqrt1=1. \] Alltså $g(x)=1=h(x)$ om $f(x)>0$. Om $f(x)>0$, så är $|f(x)|+f(x)=0$ och $g(x)$ är inte definierad. För $f(x)<0$ är $|f(x)|=-f(x)>0$ och därmed $f(x)/|f(x)|=-1$, så $h(x)$ är inte definierad för dessa $x$. Om $f(x)=0$, så är $f(x)/|f(x)|$ inte definierad och inte $h(x)$ heller. Vi har alltså sett att både $g(x)$ och $h(x)$ är definierade exakt när $f(x)>0$. Dessutom är $g(x)=1=h(x)$ för dessa $x$. Funktionerna $g$ och $h$ har alltså samma definitionsmängd och är lika då.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03