Homepage
Maj 2014
Jocke har tagit studenten och blir gratulerad av sin moster Maja. Hon passar på att fråga hur många tjejer och killar det finns i Jockes klass. Jocke svarar: "Det säger jag inte, men i snitt har varje student i min klass 3,9 fler tjej-klasskompisar än kill-klasskompisar." Kan Maja (som råkar vara matematiker) från denna information avgöra hur många tjejer och killar det finns i Jockes klass?
Lösning
Låt $x$ vara antalet tjejer i klassen, och $y$ vara antalet killar i
klassen. Varje tjej har då $x-1$ tjej-klasskompisar och $y$
kill-kompisar. Varje kille har $x$ tjej-klasskompisar och $y-1$
kill-klasskompisar. I snitt har varje student
$\displaystyle\frac{x(x-1)+xy}{x+y} = x - \frac{x}{x+y}$ tjej-klasskompisar och
$\displaystyle\frac{xy+y(y-1)}{x+y} = y - \frac{y}{x+y}$ kill-klasskompisar.
Skillnaden mellan dessa två tal skall vara
\[
3,9 = x - \frac{x}{x+y} - \biggl( y - \frac{y}{x+y} \biggr)
= \frac{x-y}{x+y} (x+y-1).
\]
Vi får alltså ekvationen $(x-y)(x+y-1) = 3,9(x+y)$.
I höderledet skriver vi $x+y$ som $(x+y-1)+1$ och subtraherar
$3,9(x+y-1)$ från båda leden i ekvationen. Detta ger
\[
(x-y-3,9)(x+y-1)=3,9.
\]
Eftersom den ena faktorn $(x+y-1)$ är ett positivt heltal, så måste
den andra faktorn $(x-y-3,9)$ vara positivt och mindre än 1.
(Annars kan produkten inte bli $3,9$.)
Alltså $3,9 < x-y < 1+3,9$, vilket leder till att $x-y=4$ och
$(x-y-3,9)=0,1$, ty $x-y$ är ett heltal.
Ekvationen blir då $0,1(x+y-1)=3,9$, som ger $(x+y-1)=39$,
d.v.s. $x+y=40$.
Från detta och från $x-y=4$ får vi $x=22$ och $y=18$, alltså $22$
tjejer och $18$ killar i Jockes klass.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03