Göm meny

Oktober 2014

1. För vilka heltal A har ekvationen x3 - A2x - 2015 = 0 minst en heltalslösning?

2. Jultomten och renen Rudolf tränar inför Julafton. Tomten börjar åka skidor. Två minuter senare börjar Rudolf springa efter Tomten och springer ifatt honom efter 1km. Båda fortsätter vidare mot vändpunkten vid 5km. Rudolf kommer dit först, vänder och springer mot Tomten. De möts exakt 20 minuter efter att Tomten började åka. Bestäm Jultomtens och Rudolfs hastighet i km/min.

Lösning

1. Skriv ekvationen som (x2 - A2) x = 2015. Från detta ser vi att x måste vara en delare till 2015. Alltså x = ± 1, ± 5, ± 13, ± 31, ± 65, ± 155, ± 403 eller ± 2015. Dessutom skall A2 = x2 - 2015/x vara en kvadrat.
Vi kan nu kolla för vilka av x:en ovan blir x2 - 2015/x en kvadrat. För att underlätta detta, utesluter vi hälften av x:en med följande resonemang: Antag för tillfället att x är positivt. För negativa x är argumentet liknande.
För positiva x blir x2 - 2015/x mindre än x2. Den närmaste mindre kvadraten till x2 är (x-1)2 och den skiljer sig från x2 med 2x-1. Alltså måste 2015/x vara åtminstone 2x-1, och därmed är 2015 större eller lika med (2x-1)x som är större eller lika med x2 (ty x är åtminstone 1). Alltså är x2 mindre eller lika med 2015, vilket utesluter möjligheterna x = 65, 155, 403 och 2015.
På samma sätt utesluts även de negativa möjligheterna x = -65, -155, -403 och -2015.
Det återstår att kolla x = ± 1, ± 5, ± 13 och ± 31, vilket görs lämligen för hand. Här får vi att för x = -13 blir
A2 = x2 - 2015/x = 169 + 155 = 324 = 182 = (-18)2, medan för de övriga x:en blir utrycket ingen kvadrat.
Vi har nu sett att de enda heltal A, för vilka ekvationen har en heltalslösning, är A=18 och A=-18.

2. Låt $u$ vara Tomtens hastighet och $v$ Rudolfs hastighet, båda i km/min. Låt dessutom $t$ vara tiden det tar för Rudolf att springa ifatt Tomten. Då är $tv=1$ och $(2+t)u=1$, eftersom detta sker efter 1km och Tomten har då åkt i $2+t$ minuter. Från detta får vi att $t=1/v$ och alltså $u=1/(2+t)=v/(2v+1)$. Dessutom vet vi att Rudolf möter Tomten 20min efter att Tomten började åka. Tomten har då åkt sträckan $20u$ och Rudolf har sprungit sträckan $18v$. Deras sträckor tillsammans är 10km, alltså $20u + 18v = 10$. Vi sätter in $u=v/(2v+1)$ i denna ekvation och får efter förenkling den kvadratiska ekvationen $36v^2 + 18v -10 =0$. Den har en negativ och en positiv lösning. Den positiva lösningen är $v=1/3$ (det blir en liten övning i bråkräkning att komma fram till detta - men undvik miniräknare!). Nu får vi också $u=v/(2v+1)=\tfrac15$. Tomtens hastighet är alltså $u=\tfrac15$km/min och Rudolfs hastighet är $v=\tfrac13$km/min.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03