Homepage
Februari 2014
Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel med radie 1. Diagonalerna AC och BD är vinkelräta. Fyrhörningens vinklar vid hörnen A, B, C och D är 45o, 120o, 135o och 60o. Bestäm fyrhörningens area.
Lösning
Vi visar först att fyrhörningens area är ½·|AC|·|BD|
och räknar sedan ut diagonalernas längder |AC| och |BD|.
Diagonalerna AC och BD delar fyrhörningen i fyra rätvinkliga
trianglar.
Låt S vara diagonalernas skärningspunkt. Fyrhörningens area är då
summan av areor av trianglarna ASB, BSC, CSD och DSA, alltså
Area = ½·(|AS|·|BS| + |BS|·|CS| + |CS|·|DS|
+ |DS|·|AS|)
= ½·(|AS|·(|BS|+|DS|) + |CS|·(|BS|+|DS|))
= ½·(|AS|+|CS|)·(|BS|+|DS|)
= ½·|AC|·|BD|.
Nu till diagonalernas längder: Randvinkelsatsen ger att
medelpunktsvinkeln för kordan AC är 2·60o =
120o,
medan medelpunktsvinkeln för kordan BD är 2·45o =
90o. Eftersom cirkelns radie är 1, så blir
$|AC| = 2/\sin 60^\circ = \sqrt3$ och $|BD| = 2/\sin 45^\circ =
\sqrt2$.
Fyrhörningens area är alltså $\sqrt6 /2$.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03