Homepage
November 2013
I en parallelltrapets ABCD hitta en punkt P så att sträckor från P till sidornas mittpunkter delar parallelltrapetsen i fyra fyrhörningar med lika area.
Lösning
Vi antar att det är sidorna $AB$ och $CD$ som är parallella. Rita en bild av parallelltrapetsen och markera de punkter och trianglar som nämns i texten nedan.Låt $A'$, $B'$, $C'$ och $D'$ vara mittpunkter på sidorna $AB$, $BC$, $CD$ och $DA$. Observera att trianglarna $BB'P$ och $B'CP$ har lika långa baser $|BB'|=|B'C|=\frac12|BC|$, och samma höjd från $P$. Deras areor är alltså lika. Eftersom rektanglarna $A'BB'P$ och $B'CC'P$ skall ha lika areor, måste alltså trianglarna $A'BP$ och $CC'P$ ha lika areor. Deras baser är i förhållandet $|A'B|:|CC'|=|AB|:|CD|$. Så om trianglarnas areor skall vara lika, så måste deras höjder från $P$ vara i det omvända förhållandet $|CD|:|AB|$. Detta innebär att punkten $P$ skall dela avståndet mellan linjerna $AB$ och $CD$ i förhållandet $|CD|:|AB|$, d.v.s. punkten $P$ skall ligga på sträckan $EF$, som är parallell med sidorna $AB$ och $CD$, och där punkterna $E$ och $F$ delar sträckorna $BC$ och $DA$ i förhållandet $|CD|:|AB|$.
Vi vill nu bestäma $P$:s position på sträckan $EF$. Eftersom trianglarna $AA'P$ och $A'BP$ har lika långa baser $|AA'|$ och $|A'B<$ och samma höjd från $P$, så har de lika areor. Därför måste även trianglarna $D'AP$ och $BB'P$ ha lika areor (annars skulle fyrhörningarna $AA'PD'$ och $A'BB'P$ inte ha lika areor).
Triangeln $D'AP$ delas av sträckan $EF$ i två trianglar med basen $FP$ och höjderna $h_1$ och $h_2$. Även triangeln $BB'P$ delas av sträckan $EF$ i två trianglar med basen $EP$ och höjderna $h_1$ och $h_2$. Trianglarna $D'AP$ och $BB'P$ har alltså areor $\frac12|FP|(h_1+h_2)$ och $\frac12|EP|(h_1+h_2)$. Dessa areor blir lika om $|EP|=|FP|$, alttså om punkten $P$ delar sträckan $EF$ i mitten.
Punkten $P$ är alltså mittpunkten på sträckan $EF$, där punkterna $E$ och $F$ delar sträckorna $BC$ och $DA$ i förhållandet $|CD|:|AB|$.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03