Homepage
Mars 2013
Tre (ärliga) pirater hittade en kista med guldmynt och bestämde sig för att
dela den lika. Sedan somnade de. Första piraten vaknade och när han
delade mynten i tre lika högar, så blev ett mynt över. Han tog en hög,
stoppade resten tillbaka i kistan och somnade om. Andra piraten
vaknade, delade mynten i tre lika högar och även då blev ett mynt
över. Han tog en mynthög och lämnade resten i kistan. När tredje
piraten delade mynten i tre högar, så gick de jämnt ut.
(a) Vilket var det minsta möjliga ursprungliga antalet mynt i kistan?
(b) Antag att de första två piraterna var oärliga och tog (utöver sin
hög) även det myntet som blev över. I så fall, vilket var det minsta
möjliga ursprungliga antalet mynt i kistan?
Lösning
(a) Låt x, y och z vara antalet mynt 1:a, 2:a och 3:e piraten tog. Från
början fanns alltså 3x+1 mynt. Efter 1:a piraten fanns 2x+1 = 3y+1
mynt i kistan. 2:a piraten tog y mynt och kvar var 2y+1 = 3z mynt.
Vi ser alltså att 2x = 3y, vilket betyder att y är jämnt och dessutom
skall 2y+1 vara delbart med 3. Vi letar efter minsta möjliga
(positiva) y med dessa egenskaper: y=2 ger 2y+1=5 som inte är delbart
med 3. Däremot ger y=4 att 2y+1=9 är delbart med 3. Så y=4, vilket ger
x=6 och det ursprungliga antalet mynt var 3x+1=19 mynt.
(b) Vi låter igen det ursprungliga antalet mynt vara 3x+1. Första
piraten tog då x+1 och lämnade 2x = 3y+1 mynt. 2:a piraten tog y+1
mynt och lämnade 2y = 3z. Alltså skall y vara delbart med 3 och 3y+1
skall vara jämnt. Vi provar olika y: y=3 ger 3y+1=10, ett jämnt
tal. Alltså är x=5, vilket leder till 3x+1=16 mynt från början.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03