Göm meny

Mars 2013

Tre (ärliga) pirater hittade en kista med guldmynt och bestämde sig för att dela den lika. Sedan somnade de. Första piraten vaknade och när han delade mynten i tre lika högar, så blev ett mynt över. Han tog en hög, stoppade resten tillbaka i kistan och somnade om. Andra piraten vaknade, delade mynten i tre lika högar och även då blev ett mynt över. Han tog en mynthög och lämnade resten i kistan. När tredje piraten delade mynten i tre högar, så gick de jämnt ut.
(a) Vilket var det minsta möjliga ursprungliga antalet mynt i kistan?
(b) Antag att de första två piraterna var oärliga och tog (utöver sin hög) även det myntet som blev över. I så fall, vilket var det minsta möjliga ursprungliga antalet mynt i kistan?


Lösning

(a) Låt x, y och z vara antalet mynt 1:a, 2:a och 3:e piraten tog. Från början fanns alltså 3x+1 mynt. Efter 1:a piraten fanns 2x+1 = 3y+1 mynt i kistan. 2:a piraten tog y mynt och kvar var 2y+1 = 3z mynt. Vi ser alltså att 2x = 3y, vilket betyder att y är jämnt och dessutom skall 2y+1 vara delbart med 3. Vi letar efter minsta möjliga (positiva) y med dessa egenskaper: y=2 ger 2y+1=5 som inte är delbart med 3. Däremot ger y=4 att 2y+1=9 är delbart med 3. Så y=4, vilket ger x=6 och det ursprungliga antalet mynt var 3x+1=19 mynt.
(b) Vi låter igen det ursprungliga antalet mynt vara 3x+1. Första piraten tog då x+1 och lämnade 2x = 3y+1 mynt. 2:a piraten tog y+1 mynt och lämnade 2y = 3z. Alltså skall y vara delbart med 3 och 3y+1 skall vara jämnt. Vi provar olika y: y=3 ger 3y+1=10, ett jämnt tal. Alltså är x=5, vilket leder till 3x+1=16 mynt från början.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03