Homepage
Maj 2013
Låt r och s vara lösningarna till ekvationen x2 - a x + 1 = 0,
där a > 1 är ett heltal. Visa att r + s, r2 + s2,
r3 + s3 och
r4 + s4 är heltal.
Lösning
Om r och s är lösningarna, så gäller att
x2 - a x + 1 = 0 = (x - r) (x - s) = x2 - (r + s) x + rs,
och alltså
- (r + s) x + rs = - a x + 1.
Speciellt, med x=0, får vi rs=1.
Dessutom, med x=1, har vi
- (r + s) + rs = - a + 1, och alltså r + s = a, vilket är ett heltal.
Men då är också
r2 + s2 = (r + s)2 - 2rs =
a2 - 2 ett heltal.
Vidare har vi
(r2 + s2) (r + s) = r3 +
r2s + rs2 + s3 =
r3 + s3 + (r + s) rs.
Alltså,
r3 + s3 = (r + s) (r2 + s2
- rs) = a (a2 - 3) är också ett heltal.
Slutligen är r4 + s4
= (r2 + s2)2 - 2 (rs)2
= (a2 - 2)2 - 2 ett heltal.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03