Göm meny

Maj 2013

Låt r och s vara lösningarna till ekvationen x2 - a x + 1 = 0, där a > 1 är ett heltal. Visa att r + s, r2 + s2, r3 + s3 och
r4 + s4 är heltal.


Lösning

Om r och s är lösningarna, så gäller att x2 - a x + 1 = 0 = (x - r) (x - s) = x2 - (r + s) x + rs, och alltså
- (r + s) x + rs = - a x + 1. Speciellt, med x=0, får vi rs=1.
Dessutom, med x=1, har vi - (r + s) + rs = - a + 1, och alltså r + s = a, vilket är ett heltal.
Men då är också r2 + s2 = (r + s)2 - 2rs = a2 - 2 ett heltal.
Vidare har vi (r2 + s2) (r + s) = r3 + r2s + rs2 + s3 = r3 + s3 + (r + s) rs.
Alltså, r3 + s3 = (r + s) (r2 + s2 - rs) = a (a2 - 3) är också ett heltal.
Slutligen är r4 + s4 = (r2 + s2)2 - 2 (rs)2 = (a2 - 2)2 - 2 ett heltal.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03