Homepage
Julnötter 2013
1. Hitta alla heltal x sådana att talet 20132 + 2014x är kvadrat av ett heltal.Lösning
Vi söker x så att 20132 + 2014x = z2, där z är ett heltal. Notera att 2014 = 2·19·53. Konjugatregeln ger2014x = z2 - 20132 = (z+2013)(z-2013).
Här ser vi att z måste vara udda, annars skulle högerledet vara udda medan vänsterledet är jämnt. Alltså z=2m+1. Men då blir högerledet delbart med 4 och därmed måste x vara jämnt, x=2k. Ekvationen blir då 4·19·53k = (2m+2014)(2m-2012), vilket förenklas till 19·53k = (m+1007)(m-1006). Eftersom 19 och 53 är ett primtal, så har vi nu fyra möjligheter:
I. Första termen m+1007 är delbart med 1007 = 19·53, alltså m+1007 = 1007n, där n är ett heltal. Då blir m-1006 = 1007n-2013 och x = 2k = 2(m+1007)(m-1006)/1007 = 2(1007n-2013)n, där n är ett godtyckligt heltal.
II. Andra termen m-1006 är delbart med 1007 = 19·53, alltså m-1006 = 1007n, där n är ett heltal. Då blir m+1007 = 1007n+2013 och x = 2k = 2(m+1007)(m-1006)/1007 = 2(1007n+2013)n, där n är ett godtyckligt heltal.
III. Första termen m+1007 är delbart med 19, medan andra termen m-1006 är
delbart med 53. Alltså m+1007 = 19a och m-1006 = 53b, där a och b är
heltal. Vi har då 53b = m-1006 = 19a - 2013, alltså
19a - 53b = 2013. Detta är en så kallad Diofantisk ekvation, som kan
lösas genom upprepad division med resttermer få följande sätt:
53 = 2·19 + 15
19 = 1·15 + 4
15 = 4·4 - 1.
Från detta får vi 1 = 4·4 - 15 = 4·(19-15) - 15 =
4·19 - 5·15 = 4·19 - 5·(53-2·19) =
14·19 - 5·53.
Om vi multiplicerar likheten 14·19 - 5·53 = 1 med 2013,
så ser vi att a=2013·14 och b=2013·5 är en lösning till vår
Diofantiska ekvation. Dessutom, för varje heltal n, har vi
19(2013·14+53n) - 53(2013·5+19n)
= 19·2013·14 - 53·2013·5 = 2013.
Alltså, a=2013·14+53n och b=2013·5+19n, där n är ett
godtyckligt heltal, är alla lösningar till den Diofantiska ekvationen
19a - 53b = 2013.
Vi har alltså x = 2k = 2(m+1007)(m-1006)/1007 = 2ab
= 2(2013·14+53n)(2013·5+19n), där n är ett
godtyckligt heltal.
IV. Första termen m+1007 är delbart med 53, medan andra termen m-1006 är delbart med 19. Alltså m+1007 = 53c och m-1006 = 19d, där c och d är heltal. Vi har då 19d = m-1006 = 53c - 2013, alltså 19d - 53c = -2013. Om vi jämför denna Diofantiska ekvation med ekvationen ovan så ser vi att d=-a och c=-b är lösningar. Eftersom x = 2k = 2(m+1007)(m-1006)/1007 = 2cd = 2(-b)(-a) = 2ab, får vi i det här fallet samma lösningar som i III ovan.
Svar: Lösningar till uppgiften är x = 2(1007n+2013)n, x = 2(1007n-2013)n och x = 2(2013·14+53n)(2013·5+19n), där n är ett godtyckligt heltal. (Kontroll: Insättning i 20132 + 2014x och lite manipulation visar att dessa är lösningar.)
2. Visa att polynomet x20142 - x20132 + x20122 - x20112 + ... + x4 - x + 1 har inga reella rötter.
Lösning
Först noterar vi att om x<0, så blir alla udda potenser x20132, x20112, ..., x32, x12 negativa. Eftersom de har -1 som koefficient, och de jämna potenserna x20142, x20122, ..., x42, x22 är positiva, så blir polynomets värde större än 1 för negativa x.Om 0<x<1, så är alla udda potenser x(2k+1)2 mindre än efterföljande jämna potenser x(2k)2. Deras skillnad är alltså positiv och polynomets värde blir större än första termen x20142 för dessa x:
x20142 - x20132 + x20122 - x20112 + ... + x4 - x + 1 = x20142 + (x20122 - x20132) + ... + (x4 - x9) + (1 - x) > x20142.
För x>1 är istället de udda potenserna x(2k-1)2 mindre än föregående jämna potenser x(2k)2. Polynomets värde blir då större än sista termen 1:
x20142 - x20132 + x20122 - x20112 + ... + x4 - x + 1 = (x20142 - x20132) + (x20122 - x20112) + ... + (x4 - x) + 1 > 1.
För x=0 och x=1 är polynomets värde lika med 1.
Vi ser alltså att polynomets värde är positivt för alla reella tal x, så det finns inga reella rötter.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03