Göm meny

Sommar 2011

1. Hitta alla positiva heltal a, b, c, d sådana att $$a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac1d}} = \frac{2013}{2011}.$$

Lösning

Skriv $\frac{2013}{2011}$ som $1+\frac{2}{2011}$. Eftersom $a$ är ett heltal, så måste alltså $a=1$. Det följer att $\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac1d}} = \frac{2}{2011}$ och alltså $b+\frac{1}{c+\frac1d} = \frac{2011}{2}=1005+\frac12$. Eftersom $c\ge1$ och därmed $\frac{1}{c+\frac1d}<1$, får vi från ovan att $b=1005$ och $\frac{1}{c+\frac1d}=\frac12$. Alltså $c+\frac1d=2$ och eftersom $c>0$ och $\frac1d>0$, så måste $c=1$ och även $d=1$. Den enda lösningen är då $a=c=d=1$ och $b=1005$.

2. Under fotbolls-EM springer Mia längs en linje vinkelrät mot målet $AB$ som är 10m brett. Målet ligger på ena sidan av denna linje och avståndet mellan linjen och målet är 8m. Hur långt från mållinjen skall Mia skjuta för att ha så stor skjutvinkel mot målet som möjligt? (Med andra ord, maximera vinkeln $\angle AMB$. )

Lösning

Betrakta den omskrivna cirkeln $C$ till triangeln $ABM$. Dess medelpunkt $S$ måste ligga på mittpunktsnormalen till sträckan (målet) $AB$. Denna mittpunktsnormal är parallell med den linjen som Mia springer på och avståndet mellan dessa parallella linjer är 8+10/2=13m. Rita en bild!
Randvinkelsatsen säger att $\angle AMB= \frac12\angle ASB$. Vi vill alltså maximera vinkeln $\angle ASB$, vilket är det samma som att flytta medelpunkten $S$ så nära målet som möjligt, eller med andra ord minimera cirkel $C$:s radie. Samtidigt måste cirkeln $C$ ha minst en punkt (nämlligen $M$) gemensamt med den linjen som Mia springer på. Eftersom avståndet mellan medelpunkten $S$ och Mias linje är 13m, så skall alltså cirkelns radie vara $|AS|=13$m och cirkeln $C$ tangerar Mias linje i punkten $M$.
Punkterna $A$, $S$ och målets mittpunkt $N$ bildar den rätvinkliga triangeln $ASN$ med sidor $|AS|=13$m och $|AN|=5$m. Pythagoras sats ger då att $|SN|=\sqrt{13^2-5^2}=12$m, vilket är också avståndet mellan mållinjen och Mia, när hon har störst skjutvinkel.

3. Johan äter glass varje dag under sommarlovet. En dag säger han: "Idag åt jag fler glassar än i förrgår men färre än för en vecka sedan." Nästa dag säger han samma sak, och så vidare. Hur länge kan han hålla på så här utan att ljuga? (Vi förutsätter att han inte tröttnar på glass eller mår dåligt.)

Lösning

Låt $G(n)$ vara antalet glassar som Johan äter under dag $n$. När han talar sanning, så gäller att $G(n-2) < G(n) < G(n-7)$. Detta skall gälla för så många $n=1,2,\ldots,N$ som möjligt. Vi börjar med $n=1$ och skriver ner den första olikheten för $n=3,5,7$: $G(-1) < G(1) < G(3) < G(5) < G(7)$. Den andra olikheten för $n=7$ ger $G(7) < G(0)$ och sedan fortsätter vi med den första olikheten för $n=2,4,6$: $G(7) < G(0) < G(2) < G(4) < G(6)$. Den andra olikheten för $n=6$ ger nu $G(6) < G(-1)$ och vi får en motsägelse. Johan kan alltså inte tala sanning i $N=7$ dagar. Vi skall nu se att han kan tala sanning i sex dagar om han äter glass enligt följande:
dag -1 (i förrgår): 5 glassar
dag 0 (igår): 1 glass
dag 1: 6 glassar
dag 2: 2 glassar
dag 3: 7 glassar
dag 4: 3 glassar
dag 5: 8 glassar
dag 6: 4 glassar


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03