Homepage
September 2011
a) Visa (utan hjälp av dator eller miniräknare) att $\sqrt3^{\sqrt2}>\sqrt2^{\sqrt3}$.
b) Visa att om $x>y$ och $x^y>y^x$, så är $\sqrt{x}^{\sqrt{y}}>\sqrt{y}^{\sqrt{x}}$.
c) Ge ett exempel där $x < y$ och $x^y > y^x$, men $\sqrt{x}^{\sqrt{y}} < \sqrt{y}^{\sqrt{x}}$ (gärna med heltal $x$ och $y$).
Lösning
a) Vi har $2^3=8<9=3^2<3^{\sqrt6}$, eftersom $2<\sqrt6$. Skriv nu $3=\sqrt3\cdot\sqrt3$ och $\sqrt6=\sqrt3\cdot\sqrt2$. Olikheten ovan blir då $\bigl( 2^{\sqrt3}\bigr)^{\sqrt3} < \bigl( 3^{\sqrt2}\bigr)^{\sqrt3}$, vilket ger $2^{\sqrt3}<3^{\sqrt2}$. Vi tar kvadratroten ur båda sidor och får $\sqrt2^{\sqrt3}<\sqrt3^{\sqrt2}$.
b) Beviset går på samma sätt som i a) men vi måste skilja på om $x>1$
eller $x\le1$. Det är en bra övning i potensregler.
Tänk själva efter varför varje steg gäller.
(Eftersom vi tar kvadratrötter så är det underförstått att både
$x$ och $y$ är icke negativa.)
Antag först att $x>1$. Från $x>y$ fås $y<\sqrt{xy}$ och alltså
(enligt antagandet) $y^x < x^y < x^{\sqrt{xy}}$. (Här behövs $x>1$!)
Eftersom $y^x=\bigl( y^{\sqrt{x}}\bigr)^{\sqrt{x}}$, så ger detta
$y^{\sqrt{x}}< x^{\sqrt{y}}$.
Ta kvadratroten för att få $\sqrt{y}^{\sqrt{x}}<\sqrt{x}^{\sqrt{y}}$.
Låt nu $x\le1$, då måste $y<1$.
Eftersom $\sqrt{x}> \sqrt{y}$, så får vi
$y^x = \bigl( y^{\sqrt{x}}\bigr)^{\sqrt{x}}
< y^{\sqrt{xy}} < x^{\sqrt{xy}}$.
(Här använde vi att $y<1$!)
Detta ger $y^{\sqrt{x}} < x^{\sqrt{y}}$ och alltså
$\sqrt{y}^{\sqrt{x}}<\sqrt{x}^{\sqrt{y}}$.
c) Låt t.ex. $x=4$ och $y=8$. Då blir $x^y=4^8=2^{16}$ och
$y^x=8^4=2^{12}< x^y$.
Men ${\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} = 2^{2\sqrt2}$ och
$\sqrt{y}^{\sqrt{x}} = (2\sqrt2)^2 = 8 =2^3>2^{2\sqrt2}$,
ty $3>2\sqrt2$.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03