Homepage
Julnötter 2012
1. Talet 2013 består av siffror 0,1,2 och 3. Hur många ickenegativa heltal (t.ex. 0 och 312) och ickenegativa decimaltal med 1,2 eller 3 decimaler (t.ex. 0,12 och 1,032) kan vi skriva ner med hjälp av siffrorna 0,1,2 och 3, om varje siffra används högst en gång?
2.
Skriv talen 1000, 1001, ..., 2013 efter varandra för att få ett enda
stort tal:
N = 100010011002...199920002001...2013.
Är talet N delbart med 2013?
(Tips: 2013 = 3.11.61, så kolla delbarhet med 3, 11 och 61.)
Lösning
1.
Vi studerar först hur talen kan se ut. Om alla fyra siffror används,
så kan talen se ut så här:
(· , · · *) eller
(* · , · *) eller
(* · · , *) eller
(* · · ·)
Här står "pricken ·" för en siffra 0,1,2 eller 3, medan
"stjärnan *" får inte vara noll.
(För då skulle inte alla fyra
siffror behövas. T.ex. är inte 01,32 och 2,130 tillåtet, efresom dessa
tal skriv med tre siffror som 1,32 och 2,13. Däremot är 0,12 och 30
OK.)
På samma sätt får vi följande mönster med tre siffror:
(· , · *) eller
(* · , *) eller
(* · ·)
och med två siffror kan vi ha:
(· , *) eller
(* ·)
Med en siffra finns det bara talen 0,1,2 och 3 att välja på,
d.v.s. 4 möjligheter.
I varje mönster ovan väljer vi först de siffror som ersätter
"stjärnor". För första "stjärnan" i varje mönster
har vi 3 möjligheter (inte 0) och för
den andra "stjärnan" har vi då 2 möjligheter. För första "pricken" har
vi sedan 2 möjligheter och för den andra "pricken" bara en möjlighet.
Om vi bara har en "stjärna" i ett mönster, så kan den väljas på 3
sätt, första "pricken" också på 3 sätt, andra "pricken" på 2 sätt och
tredje pricken på 1 sätt.
Det blir alltså sä här:
(· , · · *) ger 3.2.1.3 = 18 olika tal
(* · , · *) ger 3.2.1.2 = 12 olika tal
(* · · , *) ger 3.2.1.2 = 12 olika tal
(* · · ·) ger 3.3.2.1 = 18 olika tal
(· , · *) ger 3.2.3 = 18 olika tal
(* · , *) ger 3.2.2 = 12 olika tal
(* · ·) ger 3.3.2 = 18 olika tal
(· , *) ger 3.3 = 9 olika tal
(* ·) ger 3.3 = 9 olika tal
(·) ger 4 olika tal
Sammanlagd får vi 18 + 12 + 12 + 18 + 18 + 12 + 18 + 9 + 9 + 4 = 130 olika ickenegativa tal med hjälp av siffror 0,1, 2 och 3, där varje siffra används högst en gång.
2.
Vi kollar delbarhet med 11. Delbarhetskriteriet säger att ett tal är
delbart med 11 om och endast om dess alternerande siffersumma är
delbar med 11. Alternerande siffersumma fås om man adderar och
subtraherar talets alla siffror: de på udda positioner adderas och de
på jämna positioner subtraheras. T.ex. för talet 2013 har vi:
2-0+1-3=0, som är förstås delbart med 11 och visar att 2013 är delbart
med 11.
Vi grupperar N:s siffror i par av fyrsiffriga tal (t.ex. 1001 och
2013, 1002 och 2012, ...) och studerar deras alternerande siffersummor.
Vi noterar att om vi har två fyrsiffriga tal x=1000a+100b+10c+d och
y=1000a'+100b'+10c'+d', så är deras bidrag till den alternerande
siffersumman a-b+c-d+a'-b'+c'-d'.
Enligt delbarhetskriteriet är a-b+c-d+a'-b'+c'-d'=0 om och endast om
det åttasiffriga talet 10000x+y (med siffrorna a,b,c,d,a',b',c' och
d') är delbart med 11. Men 10000x+y = 9999x + (x+y) = 9.11.101x +
(x+y) är delbart med 11 om och endast om x+y är delbart med 11 (ty
9.11.101x är klart delbart med 11).
Så för varje par x och y av fyrsiffriga
tal, som bildar N, räcker det om vi kollar att deras summa x+y är
delbar med 11.
Vi tar 1001 och 2013. Deras summa är 1001+2013 = 3014, som är delbart
med 11. Nästa par blir 1002 och 2012. Dess summa är samma som för 1001
och 2013, alltså delbar med 11. Vi fortsätter så med nästa par. Det första talet
i paret blir 1 större, medan det andra talet minskar med 1. Parets
summa förblir delbar med 11. På det här sätter utnyttjar vi till slut
alla fyrsiffriga tal från 1001 till 2013, utom talet 1507 i mitten,
som inte bildar par med något annat tal. Men 1507:s alternerande summa
1-5+0-7=-11 är delbar med 11.
Vi har nu sett att talen 1001, 1002, ..., 2013 ger alternerande summa
delbar med 11. Eftersom 1000 ger alternerande summa 1-0+0-0=1, så är
N:s alternerande summa inte delbar med 11. Alltså är N inte delbar med
11, och därmed inte med 2013=3.11.61 heller.
(Det är lätt att kolla att N:s (icke-alternerande) siffersumma
(1+0+0+0)+(1+0+0+1)+(1+0+0+2)+...+(2+0+1+3) är delbar med 3, så N är
delbart med 3. Delbarhet med 61 är däremot inte lätt att kolla men det
behövs inte heller, eftersom N inte är delbart med 11.)
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03