Linköpings Universitet

Maj 2011

Låt a och b vara reella tal sådana att an²⁰¹¹+b är heltal för varje positivt heltal n. Visa att a och b är också heltal.

Lösning

Låt n=1 och n=2 i an²⁰¹¹+b. Vi får då att både a+b och 2²⁰¹¹a+b är heltal.
Om vi subtraherar det första talet från det andra, så får vi att (2²⁰¹¹-1)a är ett heltal, alltså a=k/(2²⁰¹¹-1), där k är ett heltal.
Låt nu n=2²⁰¹¹-1 i an²⁰¹¹+b. Vi får att (2²⁰¹¹-1)²⁰¹¹k/(2²⁰¹¹-1)+b = (2²⁰¹¹-1)²⁰¹⁰k+b är ett heltal, som vi kallar m.
Alltså är b=m-(2²⁰¹¹-1)²⁰¹⁰k ett heltal och därmed även a=(a+b)-b är ett heltal.

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03