Göm meny

Sommar 2010

1. Tre cirklar med radier 1, 2 och 3 tangerar varandra utifrån (d.v.s. varje par av cirklar tangerar varandra och ingen cirkel ligger inuti en annan).
Låt A, B och C vara cirklarnas tangeringspunkter. Beräkna arean av triangeln ABC.

2. Tomas leker med ordet CINCINNATI. Han tilldelar bokstäverna C,I,N,A,T siffrorna 1 till 5, så att olika bokstäver får olika siffror, och multiplicerar siffrorna i ordet CINCINNATI. Sedan tilldelar han siffrorna 1 till 5 till bokstäverna på ett annat sätt och multiplicerar dem igen. Hur många olika produkter kan han få så här?

3. Vilket av talen ( 20102010 + 1 )1/2 - ( 20102010 )1/2 och ( 20102010 )1/2 - ( 20102010 - 1 )1/2 är större?
Motivera noga! (Exponenten 1/2 betyder förstås "roten ur".)

Lösning

1. Cirklarnas medelpunkter bildar en triangel med sidlängder 1+2=3, 1+3=4 och 2+3=5, alltså en rätvinklig triangel med area ½ · 3 · 4 = 6.
Triangeln ABC fås från denna rätvinkliga triangeln om vi tar bort tre mindre trianglar, ett vid varje hörn.
Vi räknar ut dessa mindre trianglars area så här:
Den största av dem har basen 3 parallell med den långa kateten i den rätvinkliga triangeln och höjden som är 3/5 av den kortare kateten, alltså 3 · 3/5 = 9/5.
Dess area blir då ½ · 3 · 9/5 = 27/10.
Nästa mindre triangel har basen 2 parallell med den kortare kateten och höjden som är 2/5 av den längre kateten, alltså 4 · 2/5 = 8/5.
Dess area blir då ½ · 2 · 8/5 = 16/10. Till sist, den minsta triangeln är rätvinklig med båda kateterna 1, så dess area är ½.
Triangeln ABC:c area är då 6 - 27/10 - 16/10 - 1/2 = 6/5.

2. Observera först att både I och N finns tre gånger i ordet CINCINNATI och att A och T finns båda en gång, medan C finns två gånger. Siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 kan alltså förekomma i potenser 1, 2 eller 3 i den slutliga produkten. De två siffrorna, som tilldelas I och N kommer båda vara i potens 3 och det spelar ingen roll vilken av dem är I och vilken N. Här väljer Tomas alltså ut två siffror av fem utan hänsyn till ordning. Detta kan göras på 5 · 4 / 2 = 10 olika sätt. Sedan väljer han två siffror för A och T av de resterande tre, igen utan hänsyn till ordning. Detta kan göras på 3 · 2 / 2 = 3 olika sätt. För C har han sedan bara en möjlighet. Totalt ger det här 10 · 3 = 30 möjliga produkter.
Om alla fem siffror var primtal, så skulle vi vara klara nu, eftersom motsvarande potenser i slutprodukten skulle bara kunna fås på ett sätt. I Tomas fall gäller detta för siffrorna 3 och 5. Vi studerar alltså siffrorna 1, 2 och 4 närmare och ser att
12 · 23 · 41 = 13 · 21 · 42 och 12 · 21 · 43 = 11 · 23 · 42.
Dessa produkter har vi alltså räknat två gånger, t.ex. ger C=1, I=2 och A=4 samma produkt som C=4, I=1 och A=2 .
I det första fallet, 12 · 23 · 41 = 13 · 21 · 42, återstår exponenterna 1 och 3 för siffrorna 3 och 5, alltså antingen 31 · 53 eller 33 · 51, och följande produkter blir lika: 12 · 23 · 41 · 31 · 53 = 13 · 21 · 42 · 31 · 53 och 12 · 23 · 41 · 33 · 51 = 13 · 21 · 42 · 33 · 51.
Även i det andra fallet, 12 · 21 · 43 = 11 · 23 · 42, återstår exponenterna 1 och 3 för siffrorna 3 och 5 och följande produkter blir lika:
12 · 21 · 43 · 31 · 53 = 11 · 23 · 42 · 31 · 53 och 12 · 21 · 43 · 33 · 51 = 11 · 23 · 42 · 33 · 51.
Alla fyra produkter ovan blev alltså räknade två gånger var, så det totala antalet produkter är 30 - 4 = 26. Med lite tålamod skulle man kunna skriva ner dem alla, men det avstår vi ifrån.

3. För enkelhetens skull skriver vi x = 20102010. Vi skall alltså jämföra talen (x+1)1/2 - x1/2 och x1/2 - (x-1)1/2.
Enligt konjugatregeln (a+b)(a-b)=a2 - b2 har vi
(x+1)1/2 - x1/2 = ((x+1)-x)/((x+1)1/2 + x1/2) = 1/((x+1)1/2 + x1/2) och x1/2 - (x-1)1/2 = (x-(x-1))/(x1/2 + (x-1)1/2) = 1/(x1/2 + (x-1)1/2).
Man ser direkt att nämnaren i den första kvoten är större än nämnaren i den andra, medan täljarna är lika. Det följer att det första uttrycket är mindre än det andra, alltså ( 20102010 + 1 )1/2 - ( 20102010 )1/2 < ( 20102010 )1/2 - ( 20102010 - 1 )1/2.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03