Julnötter 2010
1. Vilket tal är större? 201020102011 eller 201120102010 ?
2. Finns det positiva heltal p och q sådana att ekvationen x3 + p x2 + q x + 2011 = 0 har endast heltalsrötter? Bestäm i så fall p, q, och rötterna!
Lösning
1.
Med hjälp av potenslagar har vi
201020102011
= 20102010 · 20102010
= (20102010)20102010
> 201120102010.
2.
Låt a, b och c vara rötter till ekvationen.
Den kan då skrivas som
0 = (x-a)(x-b)(x-c) = x3 - (a+b+c) x2
+ (ab+bc+ca) x - abc.
Vi jämför koefficienterna och ser att
p = -(a+b+c), q = ab+bc+ca och 2011 = -abc.
Eftersom 2011 är ett primtal, så måste de tre rötterna vara
±1, ±1 och ±2011, där exakt en eller alla tre rötter är
negativa.
Vi har alltså tre möjligheter: (1,1,-2011), (1,-1,2011) och
(-1,-1,-2011).
Vi räknar ut p och q och ser att de blir positiva endast i det tredje
fallet.
Rötter är alltså -1,-1 och -2011, och p=2013 och q=4023.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03