Linköpings Universitet

Februari 2010

Lös ekvationen 2010^x · 2010^y = x²⁰¹⁰ · y²⁰¹⁰, där x och y är positiva heltal.

Lösning

Skriv ekvationen som 2010^x+y = (xy)²⁰¹⁰. Eftersom 2010 = 2 · 3 · 5 · 67, så måste xy vara delbart med 2, 3, 5 och 67 och därmed minst en av x och y är delbart med varje av dessa tal. Skriv x och y som x = 2^a 3^b 5^c 67^d och y = 2^e 3^f 5^g 67^h.

Då får vi 2^x+y 3^x+y 5^x+y 67^x+y = 2^2010(a+e) 3^2010(b+f) 5^2010(c+g) 67^2010(d+h).

Eftersom exponenterna i faktoriseringen är entydigt bestämda, så måste

(*) x+y = 2010(a+e) = 2010(b+f) = 2010(c+g) = 2010(d+h)

och därmed måste x+y vara delbart med 2010, dvs med 2,3,5 och 67. Eftersom minst en av x och y är delbart med 2 (3,5,67), så måste även den andra vara det. Alltså är både x och y delbara med 2 (3,5,67) och därmed a,b,c,d,e,f,g,h > 0. Det följer att x = 2010 2^a-1 3^b-1 5^c-1 67^d-1 och y = 2010 2^e-1 3^f-1 5^g-1 67^h-1, där alla exponenter är icke-negativa. Sätt in detta i ekvationen (*), vilket ger

a+e = b+f = c+g = d+h = 2^a-1 3^b-1 5^c-1 67^d-1 + 2^e-1 3^f-1 5^g-1 67^h-1 >= 2^a-1 + 2^e-1.

Vi kan då inte ha både a < 2^a-1 och e < 2^e-1, alltså a >= 2^a-1 eller e >= 2^e-1.

Om a >= 2^a-1, så måste a=1 eller a=2 och likheten a=2^a-1 gäller, vilket ger att e >= 2^e-1 och därmed e=1 eller e=2.

P.s.s. om e >= 2^e-1, så måste e=1 eller e=2 och a=1 eller a=2.

Vi gör nu likadant med de övriga faktorerna 3, 5 och 67. Vi får b+f >= 3^b-1 + 3^f-1, vilket ger b >= 3^b-1 eller f >= 3^f-1. Som ovan leder detta till b=1 och f=1. P.s.s. fås c=d=g=h=1. Detta utesluter nu a=2 och e=2, ty a+e=b+f. Lösningen till ekvationen är alltså x = y = 2 · 3 · 5 · 67 =2010. En kontroll visar att detta stämmer.

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03