Homepage
April 2010
I den regelbundna sexhörningen ABCDEF delar punkterna A', B', C', D', E' och F' var och en av sidorna AB, BC, CD, DE, EF och FA i förhållandet a:b, där a och b är positiva reella tal. Bestäm a och b så att arean av den regelbundna sexhörningen A'B'C'D'E'F' blir så liten som möjligt.
Lösning
Låt sidlängden i sexhörningen ABCDEF vara s.
Sexhörningen A'B'C'D'E'F' fås från sexhörningen ABCDEF genom
att "klippa" bort sex likadana trianglar med sidlängder
|A'B| = bs/(a+b) och |BB'| = as/(a+b), och mellanliggande
vinkel < A'BB' = 120o.
Vi vill välja a och b så att arean av triangeln A'BB' är så
stor som möjligt.
Denna area fås från formeln
A = (1/2) |A'B| |BB'| sin 120o
= 31/2 ab s2 / 4(a+b)2.
Vi vill alltså maximera uttrycket ab/(a+b)2,
vilket är ekvivalent med att minimera
(a+b)2/ab = (1+b/a)(1+a/b) = 1 + a/b + b/a + 1
= 4 + ((a/b)1/2 - (b/a)1/2)2.
(Exponenten 1/2 betyder förstås "roten ur").
Eftersom kvadraten är alltid ickenegativ, så blir detta minst om
a/b=b/a, dvs. om a=b.
Sexhörningen A'B'C'D'E'F' har alltså minst area om punkterna
A', B', C', D', E' och F' delar sidorna AB, BC, CD, DE, EF och FA i
mitten.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03