Homepage
September 2009
1. Bestäm, utan hjälp av dator, om man kan till varje bokstav i ordet "GYMNASIET" tilldela en siffra mellan 1 och 9, så att olika siffror motsvarar olika bokstäver och följande multiplikation gäller: GYMNASIET = SNART · START
Lösning
Eftersom bokstäverna i GYMNASIET tilldelas siffror 1 till 9, så måste
R=0 i SNART och START.
Låt START = 100x + T och SNART = 100x + T + 1000y, där x är ett
tresiffrigt tal och y=N-T (vilket kan vara negativt).
Då är (efter förenkling):
GYMNASIET =
SNART · START = 1000 ( 100xy + 10x 2 + Ty ) + 200xT
+ T 2
och vi ser att de sista två siffrorna i GYMNASIET är T 2.
Alltså måste T 2 sluta med siffran T, dvs. T=1, T=5 eller
T=6.
Om T=1, så skulle E i ET behöva vara noll, vilket är omöjligt.
Om T=5, så är 200xT + T 2 = 1000x + 25 och I i IET skulle
behöva vara noll.
Alltså T=6 och E=3, eftersom 10E + T = T 2 = 36.
Låt oss titta på S istället. Om S > 3, så är SNART > 30000 och START > 36000, alltså SNART · START > 1080000000 skulle vara tiosiffrigt, vilket det inte är. Alltså S=1 eller S=2.
Enligt ovan är
GYMNASIET = SNART · START
= 1000 ( 100xy + 10x2 + 6y ) + 1200x + 36
= 10000 ( 10xy + x2) + 200( 30y + 6x ) + 36,
vilket visar att I i IET måste vara en jämn siffra, alltså I=2, I=4
eller I=8.
Dessutom ser vi att I måste vara sista siffran i 12A, eftersom A är
sista siffran i x.
Detta ger oss möjligheterna:
A=1 och I=2
A=2 och I=4
A=4 och I=8
A=7 och I=4
A=9 och I=8.
Den första möjligheten går inte, eftersom S=1 eller S=2, enligt ovan.
Eftersom A är sista siffran i x, så kan vi skriva x=10z+A, där z är
ett tvåsiffrigt tal, och
GYMNASIET = SNART · START
= 10000 ( 10xy + x2) + 6000y + 1200(10z+A) + 36
= 10000 ( 10xy + x2) + 2000( 3y + 6000z ) + 1200A + 36.
Eftersom A=2, A=4, A=7 eller A=9, så är 1200A=2400, 1200A=4800,
1200A=8400 eller 1200A=10800.
Detta visar att S i SIET måste vara jämnt, alltså S=2, vilket i sin
tur utesluter A=2.
Vi har tre möjligheter kvar för A ( = 4, 7, 9 ).
Om N=4 eller N=5, så är 24000 < SNART < 26000 och
26000 < START < 27000, alltså
624000000 < SNART · START < 702000000 och eftersom Y inte kan vara 0, så
skulle detta innebära att G=6, vilket går inte (då T=6).
Alltså har vi kvar möjligheterna:
N=1 och A = 4, 7, 9
N=7 och A = 4, 9
N=8 och A = 7 (då A=4 eller A=9 skulle ge I=8)
N=9 och A = 4, 7.
Det är nu enkelt att kolla genom multiplikation att ingen av dessa
möjligheter fungerar (produkten SNART · START består inte av
nio olika siffror).
Det går alltså inte att tilldela siffrorna 1 till 9 till bokstäverna i
GYMNASIET så att den givna multiplikationen stämmer.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03