Linköpings Universitet

Februari 2009

Vid varje sida i en rätvinklig triangel ritar man en kvadrat med samma sidlängd som triangelsidan (som i Pythagorassats). Kvadraternas hörn (de som inte hör till triangeln) bildar en sexhörning. Visa att sexhörningens area är minst 12 gånger triangelns area. För vilka trianglar blir den exakt 12 gånger större?

Lösning

Låt c vara hypotenusans längd och v en av de närliggande vinklarna. Kateterna har då längder (c sin v) och (c cos v)
och triangelns area är ½ c² (sin v) (cos v) = ¼ c² (sin 2v).

Sexhörningens area består av tre kvadrater och fyra trianglar, varav en är den ursprungliga rätvinkliga triangeln och en till triangel är kongruent med den. Den gemensamma arean av dessa två trianglar är då c² (sin v) (cos v).

De övriga två trianglarna har sidlängder c och (c sin v), samt c och (c cos v). Vinklarna mellan dessa sidor är
360^o - 2*90^o - (90^o - v) = 90^o + v och 360^o - 2*90^o - v = 180^o - v. Deras areor blir alltså
½ c² (sin v) sin (90^o + v) = ½ c² (sin v) (cos v) och
½ c² (cos v) sin (180^o - v) = ½ c² (sin v) (cos v).

Kvadraternas sidlängder är c, (c sin v) och (c cos v) och deras gemensamma area är då
c² + (c sin v)² + (c cos v)² = 2c².
Sexhörningens totala area är alltså
2c² (sin v) (cos v) + 2c² = c² (sin 2v + 2).
Kvoten mellan sexhörningens och triangelns area är då
4(sin 2v + 2) / (sin 2v) = 4 + 8/(sin 2v).
Eftersom 0^o < v < 90^o, så är (sin 2v) positivt och högst lika med 1.
Kvoten 4 + 8/(sin 2v) är alltså minst lika med 12 och likhet fås då sin 2v = 1, dvs. när v=45^o och triangeln är likbent.

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03