Homepage
September 2008
Moa har bakat en tårta i form av en (oregelbunden) triangel. Den har chockladglasyr på ovansidan och vaniljkräm med strössel på de lodräta sidorna. Tårtan skall delas mellan n kompissar. Hur skall Moa skära (med raka lodräta snitt) så att alla får lika mycket tårta, lika mycket chockladglasyr och lika mycket vaniljkräm med strössel? Alla n bitarna skall vara sammanhängande.
Lösning
Låt M vara medelpunkten för cirkeln inskriven i triangeln (tårtan). M har alltså samma avstånd från triangelns alla sidor, detta avstånd är den inskrivna cirkelns radie r. Om Moa nu delar trinagelns omkrets (vaniljkräm) i n lika långa vitar, så kan hon sedan skära från deras ändpunkter med raka lodräta snitt till medelpunkten M. Detta delar tårtan i n tårtbitar. Rita en bild!
De flesta tårtbitarna är triangelformade med ett hörn i M och basen på någon av triangelns (tårtans) sidor med vaniljkräm. Alla dessa baser är lika långa eftersom omkretsen delades i lika långa bitar. Det betyder att alla dessa triangulära tårtbitar har lika mycket vaniljkräm. Dessutom har de alla den inskrivna cirkelns radie r som sin höjd. Eftersom Area = basen · höjden / 2, så har alla triangulära tårtbitar också samma area (chockladglasyr).
Sedan har vi högst tre tårtbitar som är fyrkantiga, med M som ett hörn, det motsatta hörnet i ett av triangelns hörn, och två närligande sidor på två av triangelns (tårtans) sidor (vaniljkräm). Dessa två sidor i fyrhörningen är ihop lika långa som baserna i var och en av de triangulära tårtbitarna ovan, eftersom omkretsen delades i lika långa bitar. Alla tårtbitar har alltså lika mycket vaniljkräm.
Arean av varje fyrkantig tårtbit består av två trianglar, båda med höjden r. Baserna i dessa två trianglar är ihop lika långa som basen i var och en av de triangulära tårtbitarna ovan. Eftersom Area = basen · höjden / 2, så får vi att alla de fyrkantiga tårtbitarna har samma area som de triangulära tårtbitarna, dvs. alla tårtbitar är lika stora och har lika mycket chockladglasyr.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03