Linköpings Universitet

Oktober 2008

Koefficienterna i ekvationen a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x + a₀ = 0 är alla reella och bildar en geometrisk följd. Bestäm antalet reella rötter till ekvationen (beroende på n).

Lösning

Eftersom koefficienterna bildar en geometrisk följd, så kan vi skriva a_j = q^j a₀ för j = 0,1,...,n. Insättning i ekvationen ger

a₀ ( qⁿ xⁿ + q^n-1 x^n-1 + ... + qx + 1) = 0

Eftersom alla koefficienter inte kan vara noll, så måste a₀ vara skilt från noll och vi kan dividera ekvationen med den. Låt också y=qx. Vi får

yⁿ + y^n-1 + ... + y + 1 = 0.

Vi ser direkt att y kan inte vara 1, så vi kan multiplicera ekvationen med det nollskilda talet (y-1). Vi får efter förenkling, yⁿ⁺¹ - 1 = 0, dvs. yⁿ⁺¹ = 1.

Om n är jämnt, så är n+1 udda och vi ser att y = 1 vore den enda reella lösningen om vi inte redan uteslutit den. Det finns alltså inga reella rötter för jämna n.

Om n är udda, så är n+1 jämnt och utöver y = 1 får vi även y = - 1. Vi får att x = - 1/q = - a₁/a₀ är den enda reella roten för udda n.

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03