Göm meny

November 2008

I en kvadrat med sidlängd 1 är en mindre kvadrat inskriven, så att dess fyra hörn delar den större kvadratens sidor i förhållandet 3:4. I den mindre kvadraten skrivs sedan in en ännu mindre kvadrat och man fortsätter på samma sätt för att få en oändlig följd av minskande kvadrater. Beräkna den sammanlagda omkretsen av alla kvadrater.

Lösning

Kvadratens sida delas i två bitar, 3/7 och 4/7 långa, och vid varje hörn möts en kort och en lång bit. Pythagoras sats ger då att den mindre kvadratens sidlängd är ( (3/7)2 + (4/7)2 )1/2 = 5/7. Pss. blir nästa kvadratens sidlängd (5/7)2 osv. Den totala omkretsen är alltså summan av den oändliga geometriska serien 4 ( 1 + 5/7 + (5/7)2 + (5/7)3 + ... ) = 4/(1 - 5/7) = 14.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03