Göm meny

Julnötter 2008

1. Visa att talet n2 - n + 9 inte är delbart med 2009 för något heltal n.

2. Lös ekvationssystemet

x1 + x2 + ... + x2009 = 1

x12 + x22 + ... + x20092 = 1/ 2009

Lösning

1. (Enligt Mikael Hammar)

Eftersom 2009 = 72 * 41, så kollar vi delbarhet med 7 och 49.

Vi har n2 - n + 9 = (n+3)2 -7n, vilket är delbart med 7 exakt då (n+3)2 (och därmed även n+3) är delbart med 7. I så fall måste n+3 = 7k, där k är ett heltal, och därmed

n2 - n + 9 = (n+3)2 -7n = 49k2 - 7(7k-3) = 49(k2 - k) + 21, vilket alltid ger rest 21 vid division med 49.

Talet n2 - n + 9 är alltså aldrig delbart med 49 och därmed inte heller med 2009.

2. Vi har

(x1 - 1/ 2009)2 + ... +(x2009 - 1/ 2009)2 = x12 - 2x1/ 2009 + (1/ 2009)2 + ... + x20092 - 2x2009/ 2009 + (1/ 2009)2

= x12 +... + x20092 - 2( x1 + ... + x2009)/ 2009 + 2009/20092 = 1/ 2009 - 2/ 2009 + 1/ 2009 = 0.

Eftesom summan av kvadrater alltid är ickenegativ, så måste

x1 - 1/ 2009 = 0, x2 - 1/ 2009 = 0, ..., x2009 - 1/ 2009 = 0,

dvs. x1 = x2 = ... = x2009 = 1/ 2009.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03