Göm meny

April 2008

Tina viker ett papper sju gånger och sedan klipper itu längs en linje. Vilket är det maximala antalet pappersbitar hon kan få? (Med en vikning menas att pappret viks längs en linje. Vid varje nästa vikning viks det redan vikta pappret.)

Lösning

När Tina viker pappret en gång kan vi föreställa oss att hon får två papper liggande på varandra, som är "limmade" längs en kant. Vid varje nästa vikning fördubblas antalet pappersbitar, som ligger på varandra och det tillkommer en "limmad" kant för varje lager papper som vi hade innan.

Tina börjar med 1 papper och inga "limmade" kanter. Efter en vikning har hon 2 lager papper och 1 "limmad kant". Efter två vikningar har hon 22 = 4 lager papper och 1 + 2 = 3 "limmade" kanter. Hon fortsätter så:

Efter tre vikningar: 23 lager papper och 1 + 2 + 22 "limmade" kanter.

Efter fyra vikningar: 24 lager papper och 1 + 2 + 22 + 23 "limmade" kanter.

Efter fem vikningar: 25 lager papper och 1 + 2 + 22 + 23 + 24 "limmade" kanter.

Efter sex vikningar: 26 lager papper och 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 "limmade" kanter.

Efter sju vikningar: 27 = 128 lager papper och 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 27 - 1 = 127 "limmade" kanter.

Nu klipper Tina och dessa 128 lager papper blir 256 pappersbitar. Några av dem är dock "limmade" längs kanter. Vi har åtminstone 127 "limmade" kanter (några kan ha blivit klippta och därmed blivit fler). Vi har alltså åtminstone 127 "limmade" par, som egentligen motsvarar bara en pappersbit var. Tina kan alltså ha högst 256 - 127 = 129 pappersbitar.

Vi kollar att hon verkligen kan få så många bitar: Vik pappret i mitten, vik sedan igen längs en linje som är parallell med den första vikningen, och fortsätt så. Klipp sedan längs en linje som är parallell med alla dessa vikningslinjer. Denna klippning delar inte någon av de tänkta "limmade" kanter och därför har vi exakt 127 "limmade" par och antalet pappersbitar blir det maximala, dvs. 129. (Samma resonemang visar att efter n vikningar fås 2n + 1 bitar.)

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03