Göm meny

September 2007

1. I en fotbollsturnering för barn födda 1996-97 deltog n lag födda 97 och 5n lag födda 96. Varje lag mötte vart och ett av de andra lagen exakt en gång. Man fick två poäng för en seger, en poäng var vid oavgjord match och inga poäng vid en förlust. Lagen födda 96 fick ihop dubbelt så många poäng som lagen födda 97. Hur många lag deltog i turneringen och vem vann?

2. Anna och David diskuterar talföljder.

Anna säger: Om 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) är en aritmetisk talföljd, så är även a2, b2, c2 en aritmetisk talföljd.

David säger: Om a2, b2, c2 är en aritmetisk talföljd, så är även 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) en aritmetisk talföljd.

Vem har rätt?


Lösningar

1. Låt y vara det totala antalet poäng som lag födda 97 vann i matcher mot lag födda 96. Eftersom antalet sådana matcher var 5n2, så är y högst lika med 10n2. Lag födda 97 fick dessutom n(n-1) poäng i inbördesmatcherna, totalt alltså n(n-1) + y poäng. Lag födda 96 fick 5n(5n-1) poäng i inbördesmatcherna, totalt 5n(5n-1) + 10n2 - y poäng. Eftersom lag födda 96 fick dubbelt så många poäng som lag födda 97, så leder detta till ekvationen

5n(5n-1) + 10n2 - y = 2n(n-1) + 2y,

från vilken vi får y = 11n2 - n. Eftersom y är högst lika med 10n2, så måste 11n2 - n =< 10n2, vars lösningar bland positiva heltal är n=0 (dvs. inga lag och ingen turnering) och n=1, dvs. ett lag född 97 och 5 lag födda 96.

Laget 97 vann y=11-1=10 poäng från lag födda 96, det vann alltså alla sina matcher. Lagen födda 96 vann inga matcher mot laget 97 och i inbördesmatcherna fick varje lag högst 8 poäng. Alltså vann laget 97.

/Jana


2. Talen x, y, z bildar en aritmetisk följd om och endast om z - y = y - x, dvs. 2y = x + z. Alltså om 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) är en aritmetisk följd, så gäller 2/(a+c) = 1/(b+c) + 1/(a+b). Detta ger 2(b+c)(a+b) = (a+c)(a+2b+c) och efter förenkling, 2b2 = a2 + c2. Det betyder att a2, b2, c2 är en aritmetisk följd och Anna har rätt.

David har fel, ty 12, 12, (-1)2 är en aritmetisk följd, men 1/(b+c) är inte definierad (division med noll).

/Jana



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03