Linköpings Universitet

November 2007

För vilka reella tal x gäller log_x2 . log_2x2 = log_16x2 ? ( log_ba är logaritmen av a vid bas b, dvs. b^log_ba = a)

Lösning

Låt y = log_x2 och z = log_2x2, dvs. x^y = 2 (a) och (2x)^z = 2 (b). Observera att varken y eller z kan vara noll, ty x⁰ = 1. Eftersom yz = log_16x2, så gäller även (16x)^yz = 2 (c). Ekvationerna (a) och (b) ger

x^y = 2 = (2x)^z = (x^y x)^z = (x^y+1)^z = x^(y+1)z.

Jämförelse av exponenter ger y = (y+1)z (d). Från (a) och (c) har vi på samma sätt

x^y = 2 = (16x)^yz = (2⁴ x)^yz = ((x^y)⁴ x)^yz = (x^4y+1)^yz = x^(4y+1)yz.

Jämförelse av exponenter ger y = (4y+1)yz (e). Ekvationerna (d) och (e) ger (y+1)z = (4y+1)yz och efter division med z (då z inte är noll) fås y+1 = (4y+1)y, vilket efter förenkling leder till 4y² = 1, dvs. y = 1/2 eller y = -1/2. Om y = 1/2, så kan (a) skrivas som x^1/2 = 2 och kvadreringen ger x = 4. Om y = -1/2, så kan (a) skrivas som x^-1/2 = 2 och kvadreringen ger 1/x = 4, dvs. x = 1/4. En kontroll visar att båda lösningarna stämmer.

/Jana

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03