Göm meny

Maj 2007

1. Hitta alla reella tal a,b,c som är lösningar till ekvationen x3 - ax2 + bx - c = 0.

2. Punkten M ligger i kvadraten ABCD och dess avstånd från hörnen A,B och C är 7,13 och 17. Bestäm kvadratens area.

Lösningar

1. Eftersom a,b och c är lösningar, så gäller

0 = (x-a)(x-b)(x-c) = x3 - (a+b+c)x2 + (ab+bc+ca)x - abc.

Jämförelse med den ursprungliga ekvationen ger systemet:

(1) a + b + c = 0

(2) ab+bc+ca = b

(3) abc = c.

Från (1) ser vi att b+c=0 och insättning i (2) ger

b = ab+bc+ca = a(b+c)+bc = bc,

alltså b(c-1)=0, vilket ger b=0 eller c=1.

Om c=1, så är b=-c=-1 och insättning i (3) ger -a=c, dvs. a=-1.

Om b=0, så c=0, dvs. både (2) och (3) blir till 0=0. Återstår (1), som då är uppfylld för alla reella tal a.

Svar: Lösningarna är a=-1, b=-1, c=1, samt b=c=0 och godtyckligt a.

/Jana

2. Beteckna kvadratens sidlängd med a. Låt x var det kortaste avståndet mellan M och sidan AB och y avståndet mellan M och AD. Pythagoras sats ger då

(1) x2 + y2 = 72

(2) x2 + (a-y)2 = 132

(3) (a-x)2 + (a-y)2 = 172.

Om vi subtraherar (1) från (2) och (2) från (3), så får vi

(a-y)2 - y2 = 132 - 72 = 120,

(a-x)2 - x2 = 172 - 132 = 120.

Efter förenkling blir detta a2 - 2ay = 120 = a2 - 2ax, dvs. ay=ax, vilket ger y=x (ty a är skild från 0). Punkten M ligger alltså på diagonalen AC som då har längd |AC| = |AM|+|MC| = 7+17=24. Kvadratens area blir då |AC|2/2 = 288.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03