Homepage
Julnötter 2007
1. Finns det några positiva heltal n sådana att ekvationen xny = xyn + 2008 har heltalslösningar?
Lösning
Skriv ekvationen som xy(xn-1 - yn-1) = 23 · 251, där 251 är ett primtal. Här ser vi att n > 1 och att |xn-1 - yn-1| > 1. Dessutom måste både x och y dela 2008. Om |x| >= 251, så är |xy| >= 251 och alltså måste
8 >= |xn-1 - yn-1| = |x - y| |xn-2 + xn-3 y + ... + yn-2| >= |x - y|,
vilket medför |y| >= |x| - |x-y| >= 243. Men då vore |xy| > 2008, vilket är omöjligt.
Alltså |x| < 251 och pga. faktoriseringen ovan måste |x| = 1, 2, 4 eller 8. På samma sätt fås |y| = 1, 2, 4 eller 8.
Eftersom även xy delar 23 · 251, så måste |xy| <= 8. Om både x och y är delbara med 2, så är även xn-1 - yn-1 delbart med 2 och därmed måste |xy| <= 4, alltså x = ± 2 och y = ± 2. Men då blir xy(xn-1 - yn-1) delbart med 16 vilket är omöjligt. Om bara en av x och y (säg x) är delbart med 2, så måste den andra vara ± 1 och därmed |x - y| = 1, 3, 5, 7 eller 9. Eftersom |x - y| delar 2008, så måste |x - y| = 1, dvs. x = ± 2. Men då blir xn-1 - yn-1 udda och därmed blir inte xy(xn-1 - yn-1) delbart med 8, en motsägelse.
Alltså borde både x och y vara ± 1, vilket uppenbarligen inte uppfyller ekvationen för något n. Det finns alltså inga positiva heltal n så att ekvationen har heltalslösningar.
2. Lisa klippte ett rektangulärt papper med arean 600cm2 i tre trianglar så att deras areor A1, A2 och A3 bildar en aritmetisk följd. Bestäm A1, A2 och A3.
Lösning
Vi visar först att en av trianglarna (i själva verket den största) har area 300cm2.
Den första klippningen måste gå så att det kvarvarande pappret har högst 4 sidor (annars kan vi inte klippa det till 2 trianglar). Det betyder att det första klippet går genom ett av rektangelns hörn. Om det även går genom det motsatta hörnet (längs diagonalen), så är den bortklippta triangeln precis hälften av hela rektangeln och dess area är således 300cm2.
Om det första klippet inte går längs diagonalen, så har Lisa kvar en fyrhörning vars 2 sidor sammanfaller med 2 av rektangelns sidor. När hon nu klipper denna fyrhörning i två trianglar, måste hon klippa längs en av fyrhörningens diagonaler. I båda fallen får hon en triangel vars ena sida sammanfaller med en av rektangelns sidor och det tredje hörnet ligger på den motsatta parallella sidan. (Rita en bild!) Det betyder att triangeln höjd är lika lång som rektangelns andra sida och triangelns area är därmed 300cm2.
Vi har nu fått att den största arean A3 = 300cm2. Eftersom i en aritmetisk följd måste gälla 2A2 = A1 + A3, och vi har
A1 + A2 + A3 = 600, så får vi 2A2 = 600 - A2, dvs. A2 = 200 och därmed A1 = 100.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03