Homepage
Februari 2007
1. Visa att bland talen 22N+3, där N=1,2,..., finns oändligt många sammansatta tal (dvs. tal som inte är primtal).
2. Kanotisten paddlade först motströms och sedan åkte tillbaka medströms utan att paddla. Båda färderna tog lika lång tid. Nästa dag tänkte hon paddla både motströms och även tillbaka medströms. Hon startar kl. 14 och vill vara tillbaka senast kl. 18. När måste hon senast vända om vi antar att hon hela tiden paddlar lika snabbt och att strömmens hastighet är konstant?
Lösningar
1. De första tre talen i följden är 221+3 = 7, 222+3 = 24+3 = 19 och 223+3 = 28+3 = 259 = 7.37.
Vi gissar att för udda N är talet 22N+3 delbart med 7 (dvs. ej primtal) och visar detta med induktion:
1. För N=1 har vi 221+3 = 7, dvs. ett tal delbart med 7.
2. Antag att för något N gäller 22N+3 = 7x, där x är ett heltal (dvs. 22N+3 är delbart med 7). Då får vi:
22N+2+3 = 22N.22+3 = (22N)4+3 = (7x-3)4+3 = (7x)4 - 4(7x)3.3 + 6 (7x)2.32 -4.7x.33 + 34 +3.
Alla termer utom de sista två är uppenbarligen delbara med 7.
Dessutom är 34 +3 =84 också delbart med 7. Alltså är även talet 22N+2+3 delbart med 7.
3. Induktionsprincipen visar nu att 22N+3 är delbart med 7 för N=1,3,5,..., dvs. för alla udda N.
/Jana
2. Eftersom färden motströms med paddlande och medströms utan paddlande tog lika lång tid, så paddlar kanotisten dubbelt så snabbt som strömmens hastighet. Det betyder att när hon paddlar medströms, så blir hennes totala hastighet tre gånger strömmens hastighet och färden tillbaka går tre gånger snabbare än färden dit motströms. Hon behöver alltså tre gånger mer tid för att paddla motströms jämfört med att paddla tillbaka medströms. Eftersom hon har fyra timmar på sig, så måste hon vända efter tre timmar, dvs. kl.17.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03