Göm meny

Sommaren 2006

1. Hitta alla primtal p och positiva heltal n för vilka har ekvationen

x2 -2(pn + 2)x + p2n = 0

heltalslösning.

2. En femhörning, en sexhörning och en tiohörning är inskrivna i en och samma cirkel. Deras sidlängder är i tur och ordning f, s och t. Visa att s2 + t2 = f2.

3. En vinkruka innehåller n liter vin (n > 2 är ett heltal). Den girige vinhandlaren säljer varje dag en liter från krukan och häller i en liter vatten. Efter n dagar innehåller krukan mindre än en liter vin, resten är vatten. Hur många liter vin innehöll krukan från början?


Lösningar

1. Lösningarna till ekvationen är

x = (pn + 2) + 2(pn +1)1/2 och x = (pn + 2) - 2(pn +1)1/2.

För att dessa skall vara heltal, måste pn +1 vara kvadraten av ett heltal, dvs. pn = k2 -1 = (k+1)(k-1), där k är ett heltal. Eftersom p är ett primtal, så måste åtminstone en av (k+1) och (k-1) vara delbar med p.

Om bara en av faktorerna (k+1) och (k-1) är delbar med p, så måste den vara lika med pn och den andra faktorn måste vara ett, dvs. k-1=1, vilket ger k=2 och k+1=3=31=pn. Vi får alltså p=3 och n=1.

Om både (k+1) och (k-1) är delbara med p, så måste även (k+1) - (k-1) = 2 vara delbart med p, dvs. p=2.

Vi får alltså 2n = (k+1)(k-1) och både k+1 och k-1 måste vara potenser av två, säg k+1=2a och k-1=2b med a > b > 0. Eftersom 2=(k+1) - (k-1) = 2a-2b = 2b(2a-b-1), vi ser att 2a-b-1=1 och 2b=2. Detta ger b=1, a=2, k=3 och n=a+b=3.

Svar: Ekvationen har heltalslösningar om p=3 och n=1 eller p=2 och n=3.

/Jana


2. Rita en bild! Låt M vara cirkelns mittpunkt och beteckna tiohörningen ABCDEFGHIJ. Den består av 10 likbenta triangler, varav en är AMB. Dess sidlängder är s,s och t, och vinklarna är 72, 72 och 36 grader. Spegla punkten B i sträckan AC, vi får punkten B' på sträckan MB. Triangeln BAB' är likbent med sidlängder t,t och h=|BB'| och vinklar 72,72 och 36 grader. Trianglarna AMB och BAB' är likformiga och därför gäller h/t=t/s, dvs. h=t2/s. Observera också att vinkeln MAB' är 72-36=36 grader, alltså är även triangeln AB'M likbent. Detta ger att |MB'|=|AB'|=|AB|=t och därmed

s=|MB|=|MB'|+|BB'|=t+h = t+t2/s,

vilket är detsamma som t2+st-s2=0. Från detta kan man lätt räkna ut tiohörningens sidlängd t beroende på cirkelns radie s, men vi behöver inte göra detta.

Tillbaka i den ursprungliga bilden ser vi att femhörningens sidlängd är f=|AC|. Låt S vara skärningspunkten mella sträckorna MB och AC. Från den rättvinkliga triangeln AMS ser vi med hjälp av Pythagoras sats att

f2 = 4|AS|2 = 4(s2 - (t+h/2)2) = 4s2 - (2t+h)2 = 4s2 - (t+s)2 = s2 + t2 - 2(t2+st-s2) = s2 + t2,

vilket skulle visas.

/Jana


3. Låt vk vara mängden vin efter k dagar. Vi har v1 = n-1. Varje dag säljer vinhandlaren en n-tedel av krukans innehål, dvs. dag k+1 säljer han vk/n liter vin och har

vk+1 = vk - vk/n = (1-1/n) vk

liter vin kvar i krukan. Efter n dagar finns alltså

vn = (1-1/n) vn-1 = (1-1/n)2 vn-2 = ... =(1-1/n)n-1 v1 = (n-1)n / nn-1

liter vin i krukan. För vilka n är (n-1)n / nn-1 < 1 (*)? Vi ser enkelt att det gäller för n=3 men inte för n=4. Observera att för alla n gäller

nn+1 / (n+1)n > (n-1)n / nn-1,

dvs. om olikheten (*) inte gäller för något n, så gäller den inte heller för n+1. Vi har redan konstaterat att (*) inte gäller för n=4 och då kan den inte heller gälla för något större n. Den enda lösningen är alltså n=3.

/Jana



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03