Göm meny

Oktober 2006

1. Kalle vill klippa ut en parallellogram från papper men vet inte hur han skall göra för att få motsatta sidor parallella. Anna föreslår att han först klipper ut en godtycklig (helt oregelbunden) fyrhörning ABCD och genom vikning hittar sidornas mittpunkter A',B',C' och D' (där A' är mittpunkten för sidan AB och så vidare). Hon påstår att A'B'C'D' är en parallellogram (dess motsatta sidor är parallella) och att dess area dessutom är precis hälften av fyrhörningen ABCD:s area. Har Anna rätt? Motivera ditt svar!

2. Hitta alla positiva heltal n sådana att 1!+2!+...+n! är kvadraten av ett heltal. (Anm: n! är fakultet och definieras som n!=1.2.3...(n-1)n.)

Lösningar

1. Rita en bild! Observera att tringlarna D'AA' och DAB har ett gemensamt hörn A och samma vinkel i detta hörn. Sidorna |AD'| och |AA'| i triangeln D'AA' är precis hälften av sidorna |AD| och |AB| i triangeln DAB. Det följer att trianglerna är likformiga och att triangeln D'AA':s area är 1/4 av triangeln DAB:s area. Då måste sidan |A'D'| vara precis hälften lå lång som |BD|. På samma sätt visas att |B'C'| = |BD|/2 = |A'D'| och att |A'B'| = |AC|/2 = |C'D'|. I fyrhörningen A'B'C'D' är alltså motsatta sidor lika långa, vilket betyder att A'B'C'D' är en parallellogram.

På samma sätt som ovan visas också att triangeln B'CC':s area är 1/4 av triangeln BCD:s area. Trianglarna D'AA' och B'CC' har tillsammans alltså area som är 1/4 av fyrhörningen ABCD:s area. P.s.s. har trianglarna A'BB' och C'DD' tillsammans area som är 1/4 av fyrhörningen ABCD:s area.

Fyrhörningen A'B'C'D' får vi genom att klippa bort trianglarna D'AA', A'BB', B'CC' och C'DD' från fyrhörningen ABCD, d.v.s. vi tar bort hälften av fyrhörningen ABCD:s area.

/Jana

2.

Vi har

1! = 1 = 12

1! + 2! = 1 + 2 = 3

1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9 = 32

1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.

Fakultet av ett tal större än 4 slutar alltid med en nolla och därmed kommer 1! + 2! + 3! + 4! + ... + n! alltid sluta med en trea om n > 4. Eftersom kvadraten av ett heltal inte kan sluta i en trea, så är de enda lösningarna n=1 och n=3.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03