Göm meny

Maj 2006

1. Låt p > 2 och q > 2 vara heltal. Visa att om en fyrhörning har sidlängder p, q, pq och p+q (i godtycklig ordning!), så måste en av dess diagonaler vara kortare än 11.

2. För vilka reella parametrar m har ekvationssystemet

x2 + y2 = 4

(x-m)2 + (y+m)2 =1

med obekanta x och y exakt en reell lösning?

Lösningar

1. Av triangelolikheten följer att varje sida i en fyrhörning måste vara kortare än summan av de övriga tre sidornas längder. Alltså måste pq < (p+q) + p + q. Vi löser ut p och får p < 2q/(q-2) = 2 + 4/(q-2) < = 6, ty q-2 är ett positivt heltal, alltså minst 1. Detta ger p = 3, 4 eller 5. På samma sätt fås q < 2p/(p-2) och alltså:

q = 3, 4 eller 5 om p=3

q = 3 om p= 4 eller 5.

Vi får alltså följande tre möjligheter för fyrhörningens sidlängder:

3, 3, 3+3=6, 3.3=9

3, 4, 3+4=7, 3.4=12

3, 5, 3+5=8, 3.5=15

Observera att i alla dessa tre fall gränsar en sida med längd 3 till en sida med längd 3, 4, 5, 6, 7 eller 8. Diagonalen som gränsar till dessa två sidor är då kortare än 3+8=11.

/Jana

2. Vi studerar lösningsmängder till båda ekvationerna, d.v.s. de mängderna av punkter (x,y) i planet, vars koordinater x och y uppfyller ekvationerna. Ekvationen x2 + y2 = 4 beskriver en cirkel med mitpunkt i origo och radie 2. (Detta inses lätt med Pythagoras sats.) Ekvationen (x-m)2 + (y+m)2 =1 beskriver cirkeln med mitpunkt i (m,-m) och radie 1. (Även detta inses lätt med Pythagoras sats.) Rita en bild!

Lösningarna till ekvationssystemet får vi som cirklarnas skärningspunkter. Alltså har systemet exakt en reell lösning precis när cirklarna tangerar varandra. Cirkeln (x-m)2 + (y+m)2 =1 har mitpunkt på linjen y=-x och måste därför tangera cirkeln x2 + y2 = 4 i punkterna (21/2,-21/2) eller (-21/2,21/2). Cirkeln (x-m)2 + (y+m)2 =1 kan antingen ligga inuti cirkeln x2 + y2 = 4 eller utanför. Dess radie är hälften av den större cirkelns radie. Om den ligger inuti den stora cirkeln, så måste den gå genom origo och dess mittpunkt är (21/2/2,-21/2/2) eller (-21/2/2,21/2/2). Om den ligger utanför den stora cirkeln, så är dess mitpunkt (3.21/2/2,-3.21/2/2) eller (-3.21/2/2,3.21/2/2).

Svaret är alltså att ekvationssystemet har exakt en reell lösning om m=21/2/2, m=-21/2/2, m=3.21/2/2 eller m=-3.21/2/2. (Tips: skriv ner alla dessa potenser med hjälp av "rottecknet", så ser du bättre vad de är.)

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03