Göm meny

Julnötter 2006

1. (a) Hitta (utan hjälp av dator!) alla positiva heltal x och y sådana att 6x + xy + 6y = 2006.

(b) Hitta (utan hjälp av dator!) alla positiva heltal x och y sådana att 7x + xy + 7y = 2007.

2. I en regelbunden 2007-hörning väljer vi en godtycklig punkt M. Visa att det finns två hörn A och B bland 2007-hörningens hörn sådana att vinkeln < AMB är mindre än 180o och större än eller lika med (1-2/2007) 180o.

Lösningar

1. (a) Vi har (x+6)(y+6) = 6x + xy + 6y + 36 = 2042 = 2.1021, där båda faktorer är primtal. Eftersom x och y skall vara positiva, så måste både x+6 > 6 och y+6 > 6. Detta är omöjligt, ty enligt ovan skulle antingen x+6=2 eller y+6=2. Det finns alltså inga positiva heltal x och y sådana att 6x + xy + 6y = 2006.

(b) Vi har (x+7)(y+7) = 7x + xy + 7y + 49 = 2056 = 2.2.2.257, där alla faktorer är primtal. Eftersom x och y skall vara positiva, så är både x+7 > 7 och y+7 > 7. Alltså har vi antingen x+7=8 och y+7=257 eller x+7=257 och y+7=8. Detta ger lösningarna x=1, y=250 och x=250, y=1.

/Jana

2. Bland 2007-hörningens alla diagonaler och sidor hitta den som inte innehåller punkt M men vars avstånd till M är minst (bland diagonalerna och sidorna med positivt avstånd till M). Beteckna den AB. (Den existerar eftersom 2007-hörningen har bara ändligt många diagonaler och sidor.)

Låt B' vara grannhörnet till B, så att punkten M ligger i triangeln ABB'. På samma sätt, låt A' vara grannhörnet till A, så att punkten M ligger i triangeln ABA'. (Rita en bild!) Eftersom punkten M inte ligger på diagonalen AB, så är vinkeln < AMB mindre än 180o.

Enligt randvinkelsatsen är vinkeln < ABA' hälften av vinkeln < ASA', där S är 2007-hörningens mittpunkt. Alltså, vinkeln < ABA' = 180o/2007 och på samma sätt är vinkeln < BAB' = 180o/2007. Eftesom M är närmare diagonalen AB än diagonalen AB', så måste vinkeln < BAM vara mindre än eller lika med vinkeln < B'AM. Summan av dessa två vinklar är vinkeln < BAB', dvs. 180o/2007. Det följer att vinkeln < BAM är högst 90o/2007 och på samma sätt är vinkeln < ABM högst 90o/2007.

Eftersom summan av vinklarna < AMB, < BAM och < ABM är 180o, så är vinkeln < AMB minst lika med

180o - 90o/2007 - 90o/2007 = (1-1/2007) 180o,

vilket är ännu bättre uppskattning än vad efterfrågades i uppgiften.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03