Göm meny

Februari 2006

1. De positiva (dvs. större än noll) heltalen a,b,c bildar en s.k. Pythagorisk trippel, dvs. a2 + b2 = c2. Visa att ekvationen an + bn = cn inte har någon heltalslösning n > 2.

2. En cirkelskiva med mittpunkt M och radie r är given. Dela den i fyra exakt lika delar genom att endast använda passare (ej linjal).


Lösningar

1. Eftersom a och b är positiva, så måste c > a och c > b. För alla n > 2 får vi alltså:

cn = cn-2c2 = cn-2 (a2 + b2) > an + bn,

dvs. n > 2 kan inte vara lösning till ekvationen.

/Jana


2. Vi behöver att hitta fyra punkter på cirkeln, som bildar en kvadrat. Kvadratens sidlängd skall vara 21/2r. Observera att 21/2r = ((2r)2 - r2 - r2)1/2. Vi kan alltså konstruera kvadratens sida genom två användningar av Pythagoras sats så här:

Använd passaren till att konstruera sex punkter A,B,C,D,E,F på cirkeln som bildar en regelbunden sexhörning med sidlängd r. Observera att triangeln ACD är rättvinklig. Pythagoras sats säger att avståndet mellan A och C är 31/2r. Tag ländgen AC i passaren och rita två cirklar med denna radie och mittpunkter A och D. Cirklarna skär varandra i punkten S. Triangeln AMS är också rättvinklig och Pythagoras sats säger då att |MS|2 = |AS|2 - |AM|2 = 3r2 - r2, dvs. |MS| är den sökta kvadratens sidlängd. Tag den i passaren och konstruera kvadratens hörn på cirkeln.

Rita sedan 1/6 av en cirkel med radie r runt varje av kvadratens hörn (från mittpunkten M till den ursprungliga cirkeln). Dessa cirkelbågar delar cirkelskivan i fyra exakt lika delar. (Rita gärna en bild!)

/Jana



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03