Göm meny

Sommarproblemen 2004

1. Två cylindriska stearinljus är olika långa och olika tjocka. Det ena ljuset kan brinna i 4 timmar och det andra i 5 timmar. När båda ljusen har brunnit i 3 timmar är de lika långa. Vilket var det ursprungliga förhållandet mellan ljusens längder?

2. Lisa har skrivit de första tvåpotenserna på en rad:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536
Hon har strukit under de tal som har en etta som första siffra. Som synes kommer det aldrig mer än tre tal efter ett understruket tal innan nästa understrukna tal kommer. Skulle detta vara sant hur långt Lisa än fortsatte sin rad av tvåpotenser?

3. Betrakta en tabell med tal. Det är tillåtet att ändra tabellen genom att byta tecken på alla tal i en rad eller en kolumn. Visa att man på det sättet kan få fram en tabell där varje radsumma och varje kolumnsumma är större än eller lika med noll.

Lösningar

1. Låt ljusens längder vara x respektive y. När båda ljusen har brunnit i tre timmar återstår längden x/4 respektive 2y/5. Ekvationen x/4 = 2y/5 ger att x/y = 8/5.

/Johan

2. Ja, efter en tvåpotens med en etta som första siffra följer aldrig mer än tre tvåpotenser med någon annan första siffra. För att bevisa detta antar vi att 2n börjar med en etta och visar att i så fall måste något av talen 2n+1, 2n+2, 2n+3 och 2n+4 också börja med en etta. I själva verket kommer det att vara antingen 2n+3 eller 2n+4 som börjar med en etta. Att 2n börjar med en etta betyder att 2n = x*10k där 1 ≤ x < 2 och k är ett icke-negativt heltal. Vi börjar med att kontrollera när talet 2n+3 = 8*2n = 8x*10k börjar med en etta. Eftersom x ligger mellan 1 och 2 ligger detta tal mellan 8*10k och 16*10k, vilket betyder att det kan börja med en åtta, en nia eller en etta. För att det ska börja med en etta måste 8x*10k ≥ 10*10k = 10k+1, vilket inträffar om x ≥ 5/4. Om x ≥ 5/4 börjar alltså talet 2n+3 med en etta. I annat fall, dvs. om x < 5/4, får vi att 2n+4 = 16*2n = 16x*10k < 20*10k = 2*10k+1 samtidigt som 2n+4 ≥ 16*10k > 10k+1. I detta fall ligger alltså talet 2n+4 mellan 10k+1 och 2*10k+1, vilket betyder att det börjar med en etta.

/Pontus

3. Det finns bara ett ändligt antal sätt att välja tecken på raderna och kolonnerna. Alltså finns (minst) ett val av tecken, sådant att summan av alla talen i tabellen är så stor som möjligt. Om nu det finns någon rad eller kolonn som ändå har en negativ summa kan vi byta tecken på den. Summan av talen i tabellen har då ökat, vilket är en motsägelse, eftersom den redan skulle vara så stor som möjligt. Alltså finns inga rader eller kolonner med negativ summa om vi väljer tecken så att totala summan blir så stor som möjligt.

/Erik


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03